O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tornando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
Passo 1
O enunciado apresenta uma sequência de quadrados em que o primeiro (denotado por
) tem lado de medida
. Cada quadrado subsequente é construído tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e erguendo sobre esse segmento um novo quadrado cujo lado vale a metade do lado do quadrado anterior. O conteúdo aqui é progressão geométrica de razão
.
Passo 2
Seja
a medida do lado do
-ésimo quadrado. A relação de recorrência, pelo enunciado, é
com condição inicial
Passo 3
Para resolver essa recorrência reconhecemos que
é uma progressão geométrica de primeiro termo
e razão
. Logo, o termo geral é
Passo 4
Queremos o centésimo quadrado, isto é,
. Substituindo em
, obtemos
Resposta
A medida do lado do centésimo quadrado é
.