O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tornando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

Passo 1

O enunciado apresenta uma sequência de quadrados em que o primeiro (denotado por n=1) tem lado de medida \,1. Cada quadrado subsequente é construído tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e erguendo sobre esse segmento um novo quadrado cujo lado vale a metade do lado do quadrado anterior. O conteúdo aqui é progressão geométrica de razão \tfrac12.

Passo 2

Seja a_n a medida do lado do n-ésimo quadrado. A relação de recorrência, pelo enunciado, é
a_{n} = \frac12\,a_{n-1},
com condição inicial
a_1 = 1.

Passo 3

Para resolver essa recorrência reconhecemos que \{a_n\} é uma progressão geométrica de primeiro termo a_1=1 e razão r=\tfrac12. Logo, o termo geral é
a_n = a_1 \,r^{\,n-1} = 1\cdot \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n-1} = \frac{1}{2^{\,n-1}}.

Passo 4

Queremos o centésimo quadrado, isto é, n=100. Substituindo em a_n, obtemos
a_{100} = \frac{1}{2^{100-1}} = \frac{1}{2^{99}}.

Resposta

A medida do lado do centésimo quadrado é \displaystyle \frac{1}{2^{99}}.

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