( 35 pontos) Considere Q um sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+2 y+a z=1 e com densidade constante \rho. Para quais valores de a o sólido precisaria sofrer uma inclinação maior que 45 graus sobre o eixo y para tombar?

Passo 1

Estamos com o tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e pelo plano
x+2y+a\,z=1
e densidade constante. Queremos saber para quais valores de a o ângulo crítico de tombamento em torno do eixo y é maior que 45^\circ.

Passo 2

Para achar o centro de massa precisamos dos vértices desse tetraedro, que são as interseções com os eixos: \;(1,0,0), \;(0,\tfrac12,0), \;(0,0,\tfrac1a); e a origem (0,0,0).
Para o sólido ser limitado é necessário \tfrac1a>0, ou seja a>0.
O centróide é a média dos vértices, daí
x_G=\frac{1+0+0+0}{4}=\frac14, \quad y_G=\frac{0+\tfrac12+0+0}{4}=\frac18, \quad z_G=\frac{0+0+0+\tfrac1a}{4}=\frac1{4a}.

Passo 3

Quando tombamos em torno do eixo y, o ângulo crítico \varphi_c satisfaz
\tan\varphi_c=\frac{\text{distância horizontal do G ao eixo}}{\text{altura de G}} =\frac{x_G}{z_G} =\frac{\tfrac14}{\tfrac1{4a}} = a.â

Passo 4

Queremos \varphi_c>45^\circ, ou seja \tan\varphi_c>1. Daí a>1.

Resposta

a>1

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