( 35 pontos) Considere
um sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano
e com densidade constante
. Para quais valores de
o sólido precisaria sofrer uma inclinação maior que 45 graus sobre o eixo
para tombar?
Passo 1
Estamos com o tetraedro limitado pelos planos
,
,
e pelo plano
e densidade constante. Queremos saber para quais valores de
o ângulo crítico de tombamento em torno do eixo
é maior que
.
Passo 2
Para achar o centro de massa precisamos dos vértices desse tetraedro, que são as interseções com os eixos:
,
,
; e a origem
.
Para o sólido ser limitado é necessário , ou seja
.
O centróide é a média dos vértices, daí
Para o sólido ser limitado é necessário
O centróide é a média dos vértices, daí
Passo 3
Quando tombamos em torno do eixo
, o ângulo crítico
satisfaz
Passo 4
Queremos
, ou seja
. Daí