(35 pontos) Seja D=\left\{(x, y): 0 \leq\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \leq y\right\} uma região do plano modelando a geometria de uma placa metálica. Suponha sobre D uma distribuição de carga elétrica dada por \delta(x, y)= x^{3}+\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} Coloumb por metro quadrado. Calcule a carga elétrica total sobre a placa.

Passo 1

O enunciado pede a carga total sobre a região
D = \{(x,y)\mid 0 \le (x^2+y^2)^3 \le y\}
com densidade
\delta(x,y) = x^3 + (x^2+y^2)^{3/2}.
O conteúdo é mudar para coordenadas polares e calcular uma integral dupla.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x = r\cos\theta, y = r\sin\theta e (x^2+y^2)^3 = r^6. A condição r^6 \le y = r\sin\theta dá, para r>0,
r^5 \le \sin\theta \quad\Longrightarrow\quad 0 \le r \le (\sin\theta)^{1/5},
e precisamos de \sin\theta\ge0, isto é \theta\in[0,\pi].

Passo 3

A densidade vira
\delta = x^3 + (x^2+y^2)^{3/2} = (r\cos\theta)^3 + r^3 = r^3\bigl(\cos^3\theta +1\bigr).
O elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta. Logo o integrando total é
r^3(\cos^3\theta+1)\,r = r^4(\cos^3\theta+1).

Passo 4

O total da carga é
Q = \iint_{D}\delta\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\!\int_{r=0}^{(\sin\theta)^{1/5}} r^4\bigl(1+\cos^3\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em r:
\int_{0}^{(\sin\theta)^{1/5}}r^4\,dr = \frac{1}{5}\,r^5\Big|_{0}^{(\sin\theta)^{1/5}} = \frac{1}{5}\,\sin\theta.
Então
Q = \frac{1}{5}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\bigl(1+\cos^3\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 6

Separando,
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2, \qquad \int_{0}^{\pi}\cos^3\theta\,\sin\theta\,d\theta = 0 \quad(\text{por simetria ímpar}).í
Logo
Q = \frac{1}{5}\times2 = \frac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5} C.

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