(1,0) Calcule a transformada de Laplace de f(t)=\int_{0}^{t}(t-\tau) \sin (3 \tau) d \tau.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=\int_{0}^{t}(t-\tau)\,\sin(3\tau)\,d\tau.
Este tipo de integral é um caso clássico de convolução de funções, então vamos usar o Teorema da Convolução na transformada de Laplace.

Passo 2

Reconhecemos
f(t)=\int_{0}^{t}g(t-\tau)\,h(\tau)\,d\tau
com
g(t)=t \quad\text{e}\quad h(t)=\sin(3t).

Passo 3

Recordando transformadas básicas:
L\{g(t)\}(s)=L\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},
L\{h(t)\}(s)=L\{\sin(3t)\}(s)=\frac{3}{s^{2}+9}.

Passo 4

Pelo Teorema da Convolução temos
L\{f(t)\}(s) =L\{g*h\}(s) =L\{g\}(s)\,\cdot\,L\{h\}(s) =\frac{1}{s^{2}}\;\cdot\;\frac{3}{s^{2}+9}.

Resposta

\boxed{L\{f(t)\}(s)=\frac{3}{s^{2}(s^{2}+9)}.}

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