Verifique que y=\operatorname{senh}(x)-2 \cos (x+\pi / 6) é uma solução particular de y^{(4)}-y=0. Compatibilize esta solução particular com a solução geral da EDO.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
y = \operatorname{senh}(x) \;-\; 2\cos\Bigl(x+\tfrac{\pi}{6}\Bigr)
satisfaz
y^{(4)} - y = 0. Trata-se de uma equação diferencial linear homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes. Vamos resolver a equação característica, escrever a solução geral e então mostrar que a função dada se ajusta a essa forma geral.

Passo 2

A equação característica associada a
y^{(4)} - y = 0
é
r^4 - 1 = 0. As raízes são
r = 1,\quad r = -1,\quad r = i,\quad r = -i. Portanto a solução geral é
y_g(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x,
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Reescrevemos cada parte de
y = \operatorname{senh}(x) - 2\cos\Bigl(x+\tfrac{\pi}{6}\Bigr)
em termos das soluções fundamentais:
\operatorname{senh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
e
\cos\Bigl(x+\tfrac{\pi}{6}\Bigr) = \cos x\cos\tfrac{\pi}{6} - \sin x\sin\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \tfrac{1}{2}\sin x. Logo,
-2\cos\Bigl(x+\tfrac{\pi}{6}\Bigr) = -2\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \tfrac{1}{2}\sin x\Bigr) = -\sqrt{3}\cos x + \sin x. Assim,
y(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \;-\; \sqrt{3}\cos x \;+\; \sin x.

Passo 4

Comparando
y(x) = \tfrac12\,e^x \;+\; \bigl(-\tfrac12\bigr)e^{-x} \;+\;\bigl(-\sqrt{3}\bigr)\cos x \;+\;(1)\,\sin x
com
y_g(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x,
vemos que
C_1 = \tfrac12,\quad C_2 = -\tfrac12,\quad C_3 = -\sqrt{3},\quad C_4 = 1.
Isso mostra que a função dada pertence ao espaço das soluções da EDO homogênea.

Resposta

A solução geral da equação
y^{(4)} - y = 0
é
y_g(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x.
A função
y(x)=\operatorname{senh}(x)-2\cos\Bigl(x+\tfrac{\pi}{6}\Bigr)
corresponde à escolha
C_1=\tfrac12,\quad C_2=-\tfrac12,\quad C_3=-\sqrt3,\quad C_4=1.

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