Questão ( 3,0 pontos): Dada a função
Determine o gradiente de
b) Determine
e
.
0,4. c) Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
0,3 d) Determine a aproximação Linear
em
e a utilize para estimar
.
0,6 e) Determine a taxa de variação de
,
na direção
.
0,4. c) Determine a equação do plano tangente à superfície
0,3 d) Determine a aproximação Linear
0,6 e) Determine a taxa de variação de
Passo 1
O enunciado pede várias coisas para a função
O conteúdo envolve derivadas parciais (primeira e segunda ordem), gradiente, plano tangente, aproximação linear e derivada direcional. Para resolver, vamos usar as regras de derivação de produto e cadeia, e o conceito de gradiente e derivada direcional com vetor unitário.
Passo 2
Para obter o gradiente
, calculamos cada derivada parcial:
– Derivada em
: aplicando produto e cadeia,
– Derivada em
: só vem da cadeia sobre o expoente,
Portanto,
Passo 3
Agora as segundas derivadas
e
:
– Para
, derivamos
em relação a
:
– Para
, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Para o plano tangente em
, precisamos de
,
e
:
A equação do plano tangente é
isto é,
Passo 5
A aproximação linear
em
é justamente a equação do plano escrita como função
:
Para estimar
, basta usar
Passo 6
Para a taxa de variação na direção
em
, primeiro normalizamos
:
Então a derivada direcional é
Resposta
a)
.
b)
c) Plano tangente:
d) Aproximação linear ,
e) Derivada direcional em na direção
:
b)
c) Plano tangente:
d) Aproximação linear
e) Derivada direcional em