3- (35) Ar, a uma pressão de 1 atm e temperatura de 75^{\circ} \mathrm{C}, entra em um duto de 10 m de comprimento e de seção transversal circular de diâmetro igual a 0,2 \mathrm{~m}, que passa através de um sótăo de uma casa a uma vazão mássica de 0,16 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. As paredes do duto permanecem a uma temperatura praticamente constante igual a 60^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a) (20) temperatura do ar na saída do tubo (20);
b) (10) taxa de perda de calor a partir do duto;
c) (5) a temperatura de referência.
Tabela 1: Dados do ar a 1 atm . Calculado a partir de dados da Tabela A 15 Çengel.
Temperatura ( { }^{\circ} \mathrm{C} ) \rho ( \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) c (J/kg K) k ( \mathrm{W} / \mathrm{m} \mathrm{K} ) \alpha ( \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s} ) \mu ( \mathrm{kg} / \mathrm{m} \mathrm{s} ) Pr
60 1,0590 1007,0 0,02808 2,6320 \times 10^{-5} 2,0080 \times 10^{-3} 1,8960 \times 10^{-5} 0,72020
61 1,0559 1007,0 0,028153 2,6468 \times 10^{-3} 2,0124 \times 10^{-5} 1,9059 \times 10^{-3} 0,71995
62 1,0528 1007,0 0,028226 2,6616 \times 10^{-3} 2,0168 \times 10^{-5} 1,9158 \times 10^{-3} 0,71970
63 1,0497 1007,0 0,028299 2,6764 \times 10^{-3} 2,0212 \times 10^{-3} 1,9257 \times 10^{-3} 0,71945
64 1,0466 1007,0 0,028372 2,6912 \times 10^{-3} 2,0256 \times 10^{-3} 1,9356 \times 10^{-5} 0,71920
65 1,0435 1007,0 0,028445 2,7060 \times 10^{-3} 2,0300 \times 10^{-5} 1.9455 \times 10^{-5} 0,71895
66 1,0404 1007,0 0,028518 2,7208 \times 10^{-3} 2,0344 \times 10^{-5} 1,9554 \times 10^{-5} 0,71870
67 1,0373 1007,0 0,028591 2,7356 \times 10^{-5} 2,0388 \times 10^{-5} 1,9653 \times 10^{-5} 0,71845
68 1,0342 1007,0 0,028664 2,7504 \times 10^{-5} 2,0432 \times 10^{-5} 1.9752 \times 10^{-5} 0,71820
69 1,0311 1007,0 0,028737 2,7652 \times 10^{-3} 2,0476 \times 10^{-5} 1,9851 \times 10^{-3} 0,71795
70 1,0280 1007,0 0,028810 2,7800 \times 10^{-5} 2,0520 \times 10^{-5} 1,9950 \times 10^{-5} 0,71770
71 1,02514 1007,1 0,028882 2,7951 \times 10^{-3} 2,0564 \times 10^{-5} 2,0052 \times 10^{-3} 0,71747
72 1,02228 1007,2 0,028954 2,8102 \times 10^{-5} 2,0608 \times 10^{-3} 2,0154 \times 10^{-5} 0,71724
73 1,01942 1007,3 0,029026 2,8253 \times 10^{-3} 2,0652 \times 10^{-5} 2,0256 \times 10^{-3} 0,71701
74 1,01656 1007,4 0,029098 2,8404 \times 10^{-5} 2,0696 \times 10^{-3} 2,0358 \times 10^{-5} 0,71678
75 1,0137 1007,5 0,02917 2,8555 \times 10^{-5} 2,0740 \times 10^{-5} 2,0460 \times 10^{-3} 0,71655
76 1,01084 1007,6 0,029242 2,8706 \times 10^{-3} 2,0784 \times 10^{-3} 2,0562 \times 10^{-3} 0,71632
77 1,00798 1007,7 0,029314 2,8857 \times 10^{-3} 2,0828 \times 10^{-5} 2,0664 \times 10^{-5} 0,71609
78 1,00512 1007,8 0,029386 2,9008 \times 10^{-5} 2,0872 \times 10^{-5} 2,0766 \times 10^{-5} 0,71586
79 1,00226 1007,9 0,029458 2,9159 \times 10^{-3} 2,0916 \times 10^{-5} 2,0868 \times 10^{-5} 0,71563
80 0,9994 1008,0 0,029530 2,9310 \times 10^{-3} 2,0960 \times 10^{-5} 2,0970 \times 10^{-5} 0,71540

Passo 1

O enunciado descreve escoamento forçado de ar (
\dot{m}=0,16\\ \mathrm{kg/s}
) em um duto cilíndrico (diâmetro D=0,20\\ \mathrm{m}, comprimento L=10\\ \mathrm{m}), com entrada a T_{\mathrm{in}}=75^\circ\mathrm{C} e paredes mantidas a T_w=60^\circ\mathrm{C}. Queremos (a) a temperatura de saída T_{\mathrm{out}}, (b) a potência térmica perdida \dot{Q} e (c) a temperatura de referência para cálculo de propriedades. Para resolver usamos o balanço de energia em regime permanente
\dot{m} c_p \frac{dT}{dx} = h P (T_w - T),
onde c_p é calor específico do ar e h coeficiente de transferência convectiva, P é o perímetro interno do duto.

Passo 2

Definimos a temperatura de filme
T_{\mathrm{f}} = \frac{T_{\mathrm{in}} + T_{\mathrm{out}}}{2},
mas como T_{\mathrm{out}} ainda é desconhecida usamos aproximação inicial
T_{\mathrm{f}} \approx \frac{T_{\mathrm{in}} + T_w}{2} = \frac{75 + 60}{2} = 67,5^\circ\mathrm{C}.
Das propriedades do ar a 1\\ \mathrm{atm} e T_{\mathrm{f}} \approx 67,5^\circ\mathrm{C} obtemos, por interpolação na tabela:
\rho \approx 1,036\\ \mathrm{kg/m^3},
k \approx 0,02863\\ \mathrm{W/mK},
\nu \approx 1,97 \times 10^{-5} \mathrm{m^2/s},
c_p \approx 1007\\ \mathrm{J/kgK},
\Pr \approx 0,718.

Passo 3

Calculamos o número de Reynolds e o coeficiente h por Dittus–Boelter (escoamento turbulento totalmente desenvolvido):
A = \frac{\pi D^2}{4},\quad U = \frac{\dot m}{\rho\,A},\quad \Rey = \frac{U\,D}{\nu}.
Numericamente
A=0{,}0314\\ \mathrm{m^2},\quad U=\frac{0{,}16}{1{,}036\cdot0{,}0314}\approx4{,}92\\ \mathrm{m/s}, \quad \Rey\approx\frac{4{,}92\cdot0{,}20}{1{,}97\times10^{-5}}\approx5,0\times10^4.
Como \Rey>2{,}3\times10^3 e L\gg10D, assumimos escoamento turbulent e usamos
\Nu = 0{,}023\,\Rey^{0,8}\,\Pr^{0,3},\qquad h = \frac{\Nu\,k}{D}.
Substituindo
\Rey^{0,8}\approx5{,}8\times10^3,
\Pr^{0,3}\approx0{,}905, obtém-se
\Nu\approx120 e
h\approx\frac{120\cdot0{,}02863}{0{,}20}\approx17{,}2\\ \mathrm{W/(m^2K)}.

Passo 4

O balanço de energia integra-se como equação diferencial linear:
\frac{dT}{dx} = \frac{hP}{\dot m\,c_p}(T_w - T),
cuja solução em x=L
T_{\mathrm{out}} - T_w = (T_{\mathrm{in}} - T_w)\,\exp\!\Bigl(-\frac{hP\,L}{\dot m\,c_p}\Bigr).
Aqui P=\pi D\approx0{,}628 \mathrm{m}. Calculando o expoente
\frac{hP\,L}{\dot m\,c_p} = \frac{17{,}2\cdot0{,}628\cdot10}{0{,}16\cdot1007} \approx0{,}671,
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T_{\mathrm{out}} = 60 + (75-60)\,e^{-0,671} \approx60 + 15\cdot0{,}511 \approx67{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

A taxa de perda de calor é
\dot Q = \dot m\,c_p\,(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}) =0{,}16\cdot1007\,(75 - 67{,}7) \approx1{,}18\times10^3\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Como temperatura de referência para propriedades usamos a temperatura de filme corrigida:
T_{\mathrm{ref}} = \frac{T_w + \tfrac{T_{\mathrm{in}}+T_{\mathrm{out}}}{2}}{2} = \frac{60 + \tfrac{75+67{,}7}{2}}{2} \approx65{,}7^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) T_{\mathrm{out}}\approx67{,}7^\circ\mathrm{C}.
(b) \dot Q\approx1{,}18\times10^3\\ \mathrm{W}.
(c) T_{\mathrm{ref}}\approx65{,}7^\circ\mathrm{C}.

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