Um recipiente de água aberto é acelerado num plano inclinado a 30^{\circ}, a 3,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Qual o ângulo formado pela superfície da água com a horizontal?

Passo 1

O enunciado diz que um recipiente de água aberto está sobre um plano inclinado de 30^\circ e é acelerado (para cima do plano) com a = 3{,}6\\ \mathrm{m/s^2}. Queremos o ângulo \varphi que a superfície livre da água faz com a horizontal. Para isso, em um referencial não inercial que acompanha o recipiente, a superfície se alinha perpendicular ao vetor campo efetivo
\mathbf{g}_\text{ef} = \mathbf{g} + \mathbf{a}_\text{inércia},é
onde \mathbf{g} é a aceleração da gravidade e \mathbf{a}_\text{inércia}=-\mathbf{a}é é a aceleração inercial oposta à aceleração do recipiente.

Passo 2

Definimos um sistema de eixos com x horizontal para a direita e y vertical para cima. A gravidade tem vetor
\mathbf{g} = (0,\,-g),
com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Como o recipiente acelera para cima do plano, a aceleração inercial aponta para baixo ao longo do plano. A direção do plano inclinado faz 30^\circ acima da horizontal, logo a direção “para baixo do plano” é
\hat{\mathbf{u}} = (-\cos30^\circ,\,-\sin30^\circ).
Assim
\mathbf{a}_\text{inércia} = a\,\hat{\mathbf{u}} = \bigl(-a\cos30^\circ,\,-a\sin30^\circ\bigr).é

Passo 3

Somando os dois vetores, o campo efetivo é
\mathbf{g}_\text{ef} = (0,\,-g) + \bigl(-a\cos30^\circ,\,-a\sin30^\circ\bigr) = \Bigl(-a\cos30^\circ,\,-\bigl(g + a\sin30^\circ\bigr)\Bigr).
A superfície livre da água fica perpendicular a \mathbf{g}_\text{ef}. O ângulo \varphi entre essa superfície e a horizontal é igual ao ângulo que \mathbf{g}_\text{ef} faz com a vertical. Logo
\tan\varphi = \frac{\bigl|\text{componente horizontal de }\mathbf{g}_\text{ef}\bigr|} {\bigl|\text{componente vertical de }\mathbf{g}_\text{ef}\bigr|} = \frac{a\cos30^\circ}{g + a\sin30^\circ}.

Passo 4

Substituindo a=3{,}6\\ \mathrm{m/s^2}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, \sin30^\circ=0{,}5 e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866, temos
\tan\varphi = \frac{3{,}6 \times 0{,}866}{9{,}8 + 3{,}6 \times 0{,}5} = \frac{3{,}1176}{11{,}6} \approx 0{,}2687.
Portanto
\varphi = \arctan(0{,}2687)\approx 15^\circ.

Resposta

\varphi \approx 15^\circ

Exercícios relacionados