(35 %) Seja U=(x, y) in R^2 mid x>0, e seja F: U R^2 o campo F(x, y)=(yx^2,-1x).
Demonstre que o campo F é conservativo e calcule sua função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F(x, y) = (yx^2, -1x) definido no conjunto U = (x, y) in R^2 mid x > 0. O objetivo aqui é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar sua função potencial. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial F = (P, Q) é conservativo se existir uma função escalar phi(x, y) tal que nabla phi = F. Isso significa que as componentes do campo são as derivadas parciais de phi:
partial phipartial x = P e partial phipartial y = Q
Além disso, para que um campo seja conservativo, é necessário que as derivadas cruzadas sejam iguais, ou seja:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Vamos verificar isso para o nosso campo F.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
P = yx^2 Rightarrow partial Ppartial y = 1x^2
Q = -1x Rightarrow partial Qpartial x = 1x^2
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, podemos concluir que o campo F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial phi(x, y). Sabemos que:
partial phipartial x = P = yx^2
Para encontrar phi, integramos P em relação a x:
phi(x, y) = integral yx^2 , dx = -yx + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y, já que a integração foi feita em relação a x.

Passo 5

Para determinar h(y), usamos a segunda equação:
partial phipartial y = Q = -1x
Derivando phi(x, y) em relação a y:
partial phipartial y = -1x + h'(y) = -1x
Isso implica que h'(y) = 0, ou seja, h(y) é uma constante. Podemos chamar essa constante de C.

Resposta

Portanto, a função potencial de F é:
phi(x, y) = -yx + C

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