Seja
, e seja
o campo
.
Demonstre que o campo
é conservativo e calcule sua função potencial.
Demonstre que o campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
definido no conjunto
. O objetivo aqui é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar sua função potencial. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que as componentes do campo são as derivadas parciais de
:
Além disso, para que um campo seja conservativo, é necessário que as derivadas cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos verificar isso para o nosso campo
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, podemos concluir que o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a integração foi feita em relação a
.
Passo 5
Para determinar
, usamos a segunda equação:
Derivando
em relação a
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Resposta
Portanto, a função potencial de
é: