Uma corda está pendurada verticalmente. Você balança a extremidade livre da corda para frente e para trás, criando um trem de onda senoidal. O comprimento de onda perto do topo é igual, menor ou maior que o comprimento de onda da outra extremidade?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação entre os comprimentos de onda em duas regiões de uma corda pendurada verticalmente: perto do topo (onde a corda está presa) e perto da outra extremidade (a extremidade livre que você está balançando — a ponta inferior). Informações / hipóteses dadas ou implícitas:
  • A corda está pendurada verticalmente, de comprimento total L.
  • A extremidade livre (ponta inferior) é balançada para a frente e para trás, gerando um trem de ondas senoidais que se propaga pela corda.
  • A corda tem massa por unidade de comprimento constante, que chamaremos de \mu.
  • Há gravidade agindo com aceleração g.
  • Não foi dada nenhuma outra força externa vertical (além do peso da corda) nem rigidez apreciável; assumimos pequenas oscilações (regime linear).
    O que o problema pede: comparar o comprimento de onda perto do topo com o comprimento de onda perto da extremidade livre (inferior) — ou seja, dizer se é igual, menor ou maior.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: a velocidade de propagação de uma onda transversal em uma corda tensionada depende da tensão local T e da massa por comprimento \mu. A fórmula padrão é
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Explicando essa fórmula de forma prática: v é a velocidade da onda (m/s), T é a força de tensão na corda em um ponto (N), e \mu é a massa por unidade de comprimento da corda (kg/m). Intuição: quanto maior a tensão, mais “esticada” e rápida a corda; quanto maior a massa por comprimento, mais “pesada” e mais lenta a onda.

Passo 3

Breve derivação didática de onde vem v=\sqrt{T/\mu} (para lembrar e entender na prova):
  • Considere um pequeno trecho da corda de comprimento \Delta x e de massa \mu\,\Delta x. Seja y(x,t) o deslocamento transversal pequeno.
  • As forças transversais sobre esse trecho vêm das tensões nas extremidades; para pequenos ângulos usamos a aproximação \sin\theta\approx\tan\theta\approx \partial y/\partial x.
  • A diferença de componente vertical de tensão entre as duas extremidades fornece uma força resultante aproximadamente igual a
T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\,\Delta x.
  • Pela 2ª lei de Newton, essa força resulta na massa vezes a aceleração transversal:
\mu\,\Delta x\;\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \approx T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\,\Delta x.
  • Cancelando \Delta x e rearranjando, obtemos a equação da onda
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{T}{\mu}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2},
da qual se reconhece a velocidade de onda
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Comentário: essa derivação exige pequenas amplitudes (linearização), mas é exatamente a ideia usada em provas para justificar a fórmula.

Passo 4

Agora precisamos saber como a tensão T varia ao longo da corda pendurada verticalmente. Coloque um eixo x medindo a partir do topo para baixo, com x=0 no topo e x=L na ponta inferior. Pense fisicamente: em um ponto a uma distância x do topo, a seção acima suporta o peso de toda a porção da corda abaixo desse ponto. Portanto a tensão naquele ponto é igual ao peso da porção da corda que está abaixo (assumindo que não há outras forças verticais significativas). Assim:
T(x)=\mu g (L-x).
Verificações limítrofes úteis: em x=0 (topo) T(0)=\mu g L (máxima); em x=L (ponta inferior) T(L)=0 (tensão nula imediatamente no extremo livre).

Passo 5

Combine a expressão de T(x) com a fórmula da velocidade. Temos:
v(x)=\sqrt{\frac{T(x)}{\mu}}=\sqrt{\frac{\mu g (L-x)}{\mu}}=\sqrt{g\,(L-x)}.
Importante: a massa por comprimento \mu cancela, então a velocidade local depende apenas de g e da distância até a ponta inferior, via L-x.

Passo 6

Relação com o comprimento de onda. A frequência temporal f das oscilações é imposta pela extremidade que você balança; essa frequência é a mesma em toda a corda (a fonte determina f). A relação básica entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
\lambda(x)=\frac{v(x)}{f}.
Substituindo v(x) obtemos
\lambda(x)=\frac{1}{f}\sqrt{g\,(L-x)}.

Passo 7

Interprete a expressão: \lambda(x) é proporcional a \sqrt{L-x}. Quando x é pequeno (próximo ao topo), L-x é grande → \lambda maior. Quando x se aproxima de L (perto da extremidade livre), L-x se torna pequeno → \lambda menor. Portanto o comprimento de onda aumenta ao subir na corda e diminui ao descer para a ponta livre.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para visualizar (opcional, mas ajuda a fixar): suponha L=1{,}0\\ \text{m}, f=2{,}0\\ \text{Hz}, g=9{,}8\\ \text{m/s}^2.
  • No topo ( x=0):
\lambda(0)=\frac{1}{2}\sqrt{9{,}8\cdot 1{,}0}\approx 0{,}5\cdot 3{,}13\approx 1{,}565\\ \text{m}.
  • Perto da ponta ( x=0{,}75\\ \text{m}, por exemplo):
\lambda(0{,}75)=\frac{1}{2}\sqrt{9{,}8\cdot 0{,}25}\approx 0{,}5\cdot 1{,}565\approx 0{,}7825\\ \text{m}.
Isso ilustra que a onda tem comprimento maior perto do topo e muito menor perto da ponta livre (no limite chegando a zero se T\to0).

Passo 9

Síntese final e observações práticas: sob as hipóteses usadas (corda de massa linear constante, pequenas oscilações, tensão gerada pelo peso da porção abaixo), o comprimento de onda varia ao longo da corda e é maior na região de maior tensão (topo). Na ponta livre, onde a tensão é pequena, a velocidade e o comprimento de onda são menores. Observação: na prática existem limites (amplitude finita, atrito, acoplamentos, ou se a ponta estiver presa a uma massa, a tensão muda), mas a conclusão qualitativa permanece para o caso descrito.

Resposta

O comprimento de onda é maior perto do topo do que perto da extremidade livre (ponta inferior).

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