Uma corda está pendurada verticalmente. Você balança a extremidade livre da corda para frente e para trás, criando um trem de onda senoidal. O comprimento de onda perto do topo é igual, menor ou maior que o comprimento de onda da outra extremidade?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a relação entre os comprimentos de onda em duas regiões de uma corda pendurada verticalmente: perto do topo (onde a corda está presa) e perto da outra extremidade (a extremidade livre que você está balançando — a ponta inferior). Informações / hipóteses dadas ou implícitas:
- A corda está pendurada verticalmente, de comprimento total
. - A extremidade livre (ponta inferior) é balançada para a frente e para trás, gerando um trem de ondas senoidais que se propaga pela corda.
- A corda tem massa por unidade de comprimento constante, que chamaremos de
. - Há gravidade agindo com aceleração
. - Não foi dada nenhuma outra força externa vertical (além do peso da corda) nem rigidez apreciável; assumimos pequenas oscilações (regime linear).
O que o problema pede: comparar o comprimento de onda perto do topo com o comprimento de onda perto da extremidade livre (inferior) — ou seja, dizer se é igual, menor ou maior.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: a velocidade de propagação de uma onda transversal em uma corda tensionada depende da tensão local
e da massa por comprimento
. A fórmula padrão é
Explicando essa fórmula de forma prática:
é a velocidade da onda (m/s),
é a força de tensão na corda em um ponto (N), e
é a massa por unidade de comprimento da corda (kg/m). Intuição: quanto maior a tensão, mais “esticada” e rápida a corda; quanto maior a massa por comprimento, mais “pesada” e mais lenta a onda.
Passo 3
Breve derivação didática de onde vem
(para lembrar e entender na prova):
- Considere um pequeno trecho da corda de comprimento
e de massa . Seja o deslocamento transversal pequeno. - As forças transversais sobre esse trecho vêm das tensões nas extremidades; para pequenos ângulos usamos a aproximação
. - A diferença de componente vertical de tensão entre as duas extremidades fornece uma força resultante aproximadamente igual a
- Pela 2ª lei de Newton, essa força resulta na massa vezes a aceleração transversal:
- Cancelando
e rearranjando, obtemos a equação da onda
da qual se reconhece a velocidade de onda
Comentário: essa derivação exige pequenas amplitudes (linearização), mas é exatamente a ideia usada em provas para justificar a fórmula.
Passo 4
Agora precisamos saber como a tensão
varia ao longo da corda pendurada verticalmente. Coloque um eixo
medindo a partir do topo para baixo, com
no topo e
na ponta inferior. Pense fisicamente: em um ponto a uma distância
do topo, a seção acima suporta o peso de toda a porção da corda abaixo desse ponto. Portanto a tensão naquele ponto é igual ao peso da porção da corda que está abaixo (assumindo que não há outras forças verticais significativas). Assim:
Verificações limítrofes úteis: em
(topo)
(máxima); em
(ponta inferior)
(tensão nula imediatamente no extremo livre).
Passo 5
Combine a expressão de
com a fórmula da velocidade. Temos:
Importante: a massa por comprimento
cancela, então a velocidade local depende apenas de
e da distância até a ponta inferior, via
.
Passo 6
Relação com o comprimento de onda. A frequência temporal
das oscilações é imposta pela extremidade que você balança; essa frequência é a mesma em toda a corda (a fonte determina
). A relação básica entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
Substituindo
obtemos
Passo 7
Interprete a expressão:
é proporcional a
. Quando
é pequeno (próximo ao topo),
é grande →
maior. Quando
se aproxima de
(perto da extremidade livre),
se torna pequeno →
menor. Portanto o comprimento de onda aumenta ao subir na corda e diminui ao descer para a ponta livre.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para visualizar (opcional, mas ajuda a fixar): suponha
,
,
.
- No topo (
):
- Perto da ponta (
, por exemplo):
Isso ilustra que a onda tem comprimento maior perto do topo e muito menor perto da ponta livre (no limite chegando a zero se
).
Passo 9
Síntese final e observações práticas: sob as hipóteses usadas (corda de massa linear constante, pequenas oscilações, tensão gerada pelo peso da porção abaixo), o comprimento de onda varia ao longo da corda e é maior na região de maior tensão (topo). Na ponta livre, onde a tensão é pequena, a velocidade e o comprimento de onda são menores. Observação: na prática existem limites (amplitude finita, atrito, acoplamentos, ou se a ponta estiver presa a uma massa, a tensão muda), mas a conclusão qualitativa permanece para o caso descrito.
Resposta
O comprimento de onda é maior perto do topo do que perto da extremidade livre (ponta inferior).