Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes: o integrando é a função
aplicada a uma expressão linear em
,
. Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, isto é, uma função
tal que
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): quando temos uma integral de uma função composta do tipo
, uma técnica simples e eficaz é a substituição linear
. Isso funciona porque a derivada de
é constante, e podemos transformar a integral para uma forma básica
, cuja primitiva conhecemos. Lembrete útil: a primitiva de
em relação a
é
, pois
. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Fazemos a substituição
Agora calculamos o diferencial
. Derivando em relação a
,
Isolando
temos
Passo 4
Substituímos na integral original: onde aparecia
colocamos
e onde aparecia
colocamos
. Assim
Passo 5
Agora usamos a primitiva conhecida de
. Sabemos que
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 6
Voltando à variável original
(fazendo a substituição inversa
), obtemos a primitiva desejada:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta para checar,
que coincide com o integrando. Está correto!