Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \cos (2 x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos(2x+3)\,dx.
Informações relevantes: o integrando é a função \cos aplicada a uma expressão linear em x, \,2x+3. Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\cos(2x+3).

Passo 2

Estratégia (explicação didática): quando temos uma integral de uma função composta do tipo \cos(ax+b), uma técnica simples e eficaz é a substituição linear u=ax+b. Isso funciona porque a derivada de ax+b é constante, e podemos transformar a integral para uma forma básica \int \cos u\,du, cuja primitiva conhecemos. Lembrete útil: a primitiva de \cos u em relação a u é \sin u, pois \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 2x+3.
Agora calculamos o diferencial du. Derivando em relação a x,
du = 2\,dx.
Isolando dx temos
dx = \frac{du}{2}.

Passo 4

Substituímos na integral original: onde aparecia 2x+3 colocamos u e onde aparecia dx colocamos \dfrac{du}{2}. Assim
\int \cos(2x+3)\,dx = \int \cos(u)\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Agora usamos a primitiva conhecida de \cos u. Sabemos que
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
onde C é constante de integração. Portanto
\frac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u) + C.

Passo 6

Voltando à variável original x (fazendo a substituição inversa u=2x+3), obtemos a primitiva desejada:
\frac{1}{2}\sin(2x+3) + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta para checar,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\sin(2x+3)\right) = \frac{1}{2}\cos(2x+3)\cdot 2 = \cos(2x+3),
que coincide com o integrando. Está correto!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sin(2x+3)+C

Exercícios relacionados