Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{1}{\sqrt{1-(2 x)^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{1-(2 x)^{2}}}\,d x.
Informações relevantes dadas:
\text{integrando}=\frac{1}{\sqrt{1-(2 x)^{2}}},\qquad \text{variável de integração}=x.áçã
Pergunta: encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-(2 x)^{2}}}, válida onde a expressão está definida (ou seja, para |2x|<1, isto é, |x|<\tfrac{1}{2}).

Passo 2

Vamos lembrar um resultado padrão muito útil (vou explicar por quê ele vale):
\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,d u=\arcsin(u)+C.
Justificativa curta e didática: se y=\arcsin(u) então \sin(y)=u. Diferenciando ambos os lados em relação a u obtemos
\cos(y)\frac{d y}{d u}=1,
portanto
\frac{d y}{d u}=\frac{1}{\cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}(y)}}=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Logo a derivada de \arcsin(u) é \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}, o que prova a fórmula da integral acima.

Passo 3

Observação e escolha do método: dentro da raiz temos 1-(2x)^{2}. Isso sugere a substituição simples
u=2x,
porque assim a integranda fica na forma \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} (mais um fator que vem do d x). Esta é a escolha mais direta e elementar.

Passo 4

Calculemos a diferencial da substituição:
u=2x \implies d u=2\,d x \implies d x=\frac{d u}{2}.

Passo 5

Substituindo na integral original:
\int \frac{1}{\sqrt{1-(2 x)^{2}}}\,d x = \int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\cdot\frac{d u}{2}.
Colocando o fator 1/2 fora da integral:
=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,d u.

Passo 6

Usando a primitiva padrão do Passo 2:
\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,d u=\arcsin(u)+C,
temos
\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,d u=\frac{1}{2}\arcsin(u)+C.

Passo 7

Voltando à variável original x (substituindo u=2x):
\frac{1}{2}\arcsin(u)+C=\frac{1}{2}\arcsin(2x)+C.
Comentário sobre domínio: esta primitiva é válida para |2x|<1, ou seja, |x|<\tfrac{1}{2}, onde a função integrando é real.

Passo 8

Verificação rápida por diferenciação: derive \dfrac{1}{2}\arcsin(2x):
\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2}\arcsin(2x)\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^{2}}}\cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^{2}}}
que coincide com o integrando, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\arcsin(2x)+C

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