Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
Pergunta: encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função
tal que
, válida onde a expressão está definida (ou seja, para
, isto é,
).
Passo 2
Vamos lembrar um resultado padrão muito útil (vou explicar por quê ele vale):
Justificativa curta e didática: se
então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
portanto
Logo a derivada de
é
, o que prova a fórmula da integral acima.
Passo 3
Observação e escolha do método: dentro da raiz temos
. Isso sugere a substituição simples
porque assim a integranda fica na forma
(mais um fator que vem do
). Esta é a escolha mais direta e elementar.
Passo 4
Calculemos a diferencial da substituição:
Passo 5
Substituindo na integral original:
Colocando o fator
fora da integral:
Passo 6
Usando a primitiva padrão do Passo 2:
temos
Passo 7
Voltando à variável original
(substituindo
):
Comentário sobre domínio: esta primitiva é válida para
, ou seja,
, onde a função integrando é real.
Passo 8
Verificação rápida por diferenciação: derive
:
que coincide com o integrando, confirmando que a primitiva está correta.