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Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a.
ll f(x)=x^2+raiz7-x, & a=4 f(x)=(x+2 x^3)^4, & a=-1 h(t)=2 t-3 t^21+t^3, & a=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é a tarefa de usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites para demonstrar que certas funções são contínuas em pontos específicos. A matéria que vamos usar envolve contínuos e limites, conceitos fundamentais em cálculo. Para isso, vamos precisar aplicar a definição formal de continuidade e utilizar propriedades básicas dos limites das funções.

Função 1: f(x) = x^2 + raiz7 - x onde a = 4

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto a . Basicamente, uma função f é contínua em a se o limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual ao valor da função naquele ponto, ou seja:
limx to a f(x) = f(a)
Vamos aplicar isso na nossa função f(x) = x^2 + raiz7 - x no ponto a = 4 .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular f(4) :
f(4) = (4)^2 + raiz7 - 4 = 16 + raiz3 = 16 + raiz3

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 4:
limx to 4 f(x) = limx to 4 ( x^2 + raiz7 - x )
Podemos separar esse limite em duas partes, já que o limite da soma é a soma dos limites (propiedade dos limites):
limx to 4 x^2 + limx to 4 raiz7 - x

Passo 5

Calculando cada parte:
limx to 4 x^2 = (4)^2 = 16
limx to 4 raiz7 - x = raiz7 - 4 = raiz3

Passo 6

Somando os limites:
16 + raiz3 = 16 + raiz3

Passo 7

Vamos aplicar a mesma lógica para mostrar que a função f(x) = (x + 2x^3)^4 é contínua no ponto a = -1 . Lembrando que para a função ser contínua em a , precisamos que:
limx to -1 f(x) = f(-1)

Passo 8

Primeiro, calculamos f(-1) :
f(-1) = ( -1 + 2(-1)^3 )^4 = ( -1 + 2(-1) )^4 = ( -1 - 2 )^4 = (-3)^4 = 81

Passo 9

Agora, calculamos o limite:
limx to -1 (x + 2x^3)^4
Podemos utilizar a propriedade dos limites que diz que o limite de uma função composta é a composição dos limites, desde que existam. Primeiro, vamos encontrar:
limx to -1 (x + 2x^3) = (-1) + 2(-1)^3 = -1 + 2(-1) = -1 - 2 = -3
Então:
limx to -1 (x + 2x^3)^4 = (-3)^4 = 81

Passo 10

Por último, vamos mostrar que a função h(t) = 2t - 3t^21 + t^3 é contínua no ponto a = 1 . Novamente, precisamos verificar se:
limt to 1 h(t) = h(1)

Passo 11

Primeiro, calculamos h(1) :
h(1) = 2(1) - 3(1)^21 + (1)^3 = 2 - 31 + 1 = -12 = -12

Passo 12

Agora, calculamos o limite:
limt to 1 2t - 3t^21 + t^3
Podemos substituir diretamente t = 1 porque o denominador não se anula:
2(1) - 3(1)^21 + (1)^3 = 2 - 31 + 1 = -12 = -12

Resposta

Como limt to 1 h(t) = h(1) = -12 , a função h(t) = 2t - 3t^21 + t^3 é contínua em a = 1 .

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