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Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número
.
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é a tarefa de usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites para demonstrar que certas funções são contínuas em pontos específicos. A matéria que vamos usar envolve contínuos e limites, conceitos fundamentais em cálculo. Para isso, vamos precisar aplicar a definição formal de continuidade e utilizar propriedades básicas dos limites das funções.
Função 1:
onde
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto
. Basicamente, uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função naquele ponto, ou seja:
Vamos aplicar isso na nossa função
no ponto
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 4:
Podemos separar esse limite em duas partes, já que o limite da soma é a soma dos limites (propiedade dos limites):
Passo 5
Calculando cada parte:
Passo 6
Somando os limites:
Passo 7
Vamos aplicar a mesma lógica para mostrar que a função
é contínua no ponto
. Lembrando que para a função ser contínua em
, precisamos que:
Passo 8
Primeiro, calculamos
:
Passo 9
Agora, calculamos o limite:
Podemos utilizar a propriedade dos limites que diz que o limite de uma função composta é a composição dos limites, desde que existam. Primeiro, vamos encontrar:
Então:
Passo 10
Por último, vamos mostrar que a função
é contínua no ponto
. Novamente, precisamos verificar se:
Passo 11
Primeiro, calculamos
:
Passo 12
Agora, calculamos o limite:
Podemos substituir diretamente
porque o denominador não se anula:
Resposta
Como
, a função
é contínua em
.