Sejam F o campo vetorial no plano definido por
e
o arco da elipse
no semiplano
. Calcule a integral de
ao longo de
desde o ponto
até o ponto
.
Sugestão: Considere a curva
obtida unindo
ao segmento de reta
e aplique o teorema de Green à curva fechada
; reflita agora sobre como proceder para obter a integral sobre a curva
acima e conclua o cálculo.
Sugestão: Considere a curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo do arco
de uma elipse no semiplano
, indo do ponto
até o ponto
. Estamos lidando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com integrais de campos vetoriais e o Teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Ela é a parte superior da elipse definida por
. Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 36:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimentos 3 (no eixo
) e 2 (no eixo
). O semiplano
indica que estamos considerando apenas a parte superior da elipse, de
a
.
Passo 3
A sugestão do exercício nos orienta a considerar a curva fechada
, que é formada pela união da curva
com o segmento de reta que vai de
a
. Assim, temos uma curva fechada que consiste na parte superior da elipse e na base, que é o eixo
de
a
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, o Teorema de Green é dado por:
Onde
e
é a região delimitada por
.
Passo 5
Vamos identificar
e
a partir do campo vetorial
. Então:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 6
Calculando as derivadas parciais:
Agora, vamos encontrar a diferença
:
Passo 7
Aplicando o Teorema de Green, temos:
A região
é a parte da elipse no semiplano
, então a área total da elipse é
. Mas como estamos considerando apenas a metade superior, a área será
.
Portanto:
Passo 8
Agora, lembrando que
é composta por
e o segmento de reta de
a
, temos:
Queremos encontrar
. Precisamos calcular ou analisar a integral sobre o segmento de reta
.
Passo 9
Vamos parametrizar o segmento de reta de
a
. Neste caso, y = 0 ao longo de toda a reta. Então,
, e a integral sobre
se simplifica.
Substituindo
em
.
Então,
Passo 10
Voltando à equação anterior:
Isolando a integral que queremos:
Resposta
A integral de
ao longo de
de
até
é
.