Sejam F o campo vetorial no plano definido por
F(x, y)=(2 x y+y^2-y+2, x^2+2 x y+x+y e^y^3)
e C o arco da elipse 4 x^2+9 y^2=36 no semiplano y >= 0. Calcule a integral de F ao longo de C desde o ponto A=(3,0) até o ponto B=(-3,0).
Sugestão: Considere a curva gamma obtida unindo C ao segmento de reta B A e aplique o teorema de Green à curva fechada gamma; reflita agora sobre como proceder para obter a integral sobre a curva C acima e conclua o cálculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y) ao longo do arco C de uma elipse no semiplano y >= 0, indo do ponto A=(3,0) até o ponto B=(-3,0). Estamos lidando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com integrais de campos vetoriais e o Teorema de Green. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva C. Ela é a parte superior da elipse definida por 4x^2 + 9y^2 = 36. Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 36:
x^29 + y^24 = 1
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimentos 3 (no eixo x) e 2 (no eixo y). O semiplano y >= 0 indica que estamos considerando apenas a parte superior da elipse, de A=(3,0) a B=(-3,0).

Passo 3

A sugestão do exercício nos orienta a considerar a curva fechada gamma, que é formada pela união da curva C com o segmento de reta que vai de B a A. Assim, temos uma curva fechada que consiste na parte superior da elipse e na base, que é o eixo x de B a A.

Passo 4

Agora, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, o Teorema de Green é dado por:
ointgamma F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde F = (P, Q) e D é a região delimitada por gamma.

Passo 5

Vamos identificar P e Q a partir do campo vetorial F(x, y) = (2xy + y^2 - y + 2, x^2 + 2xy + x + y e^y^3). Então:
P = 2xy + y^2 - y + 2
Q = x^2 + 2xy + x + y e^y^3
Agora, precisamos calcular partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 6

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 2x + 2y + 1
partial Ppartial y = 2x + 2y - 1
Agora, vamos encontrar a diferença partial Qpartial x - partial Ppartial y:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (2x + 2y + 1) - (2x + 2y - 1) = 2

Passo 7

Aplicando o Teorema de Green, temos:
ointgamma F cdot dr = integral duplaD 2 , dA = 2 cdot Área(D) Á
A região D é a parte da elipse no semiplano y >= 0, então a área total da elipse é pi a b = pi cdot 3 cdot 2 = 6pi. Mas como estamos considerando apenas a metade superior, a área será 3pi.
Portanto:
ointgamma F cdot dr = 2 cdot 3pi = 6pi

Passo 8

Agora, lembrando que gamma é composta por C e o segmento de reta de B a A, temos:
ointgamma F cdot dr = integralC F cdot dr + integralBA F cdot dr = 6pi
Queremos encontrar integralC F cdot dr. Precisamos calcular ou analisar a integral sobre o segmento de reta BA.

Passo 9

Vamos parametrizar o segmento de reta de B=(-3,0) a A=(3,0). Neste caso, y = 0 ao longo de toda a reta. Então, dy = 0, e a integral sobre BA se simplifica.
Substituindo y=0 em F(x, 0) = (2x cdot 0 + 0^2 - 0 + 2, x^2 + 2x cdot 0 + x + 0 cdot e^0) = (2, x^2 + x).
Então,
integralBA F cdot dr = integral-3^3 P , dx + Q , dy = integral-3^3 2 , dx + 0 = 2 cdot (3 - (-3)) = 12

Passo 10

Voltando à equação anterior:
integralC F cdot dr + 12 = 6pi
Isolando a integral que queremos:
integralC F cdot dr = 6pi - 12

Resposta

A integral de F ao longo de C de A até B é 6pi - 12.

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