Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e a superfície S.
F(x, y, z)=y i+z j+x k,
S é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante, orientada ascendentemente

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para
F(x,y,z) = y,i + z,j + x,k
e S a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante, orientada “para cima” (isto é, com componente k do vetor normal positiva).
Vamos calcular os dois lados de Stokes:
  1. Integral de superfície integral duplaS(nablatimesF)cdot dS.
  2. Integral de linha ointpartial SFcdot dr.

Passo 2

Primeiro calculamos o rotacional de F:
nablatimesF = i & j & k partialx & partialy & partialz y & z & x = -,i;-;j;-;k

Passo 3

Parametrizamos S por (x,y) com z=1-x-y, onde
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1-x
A parametrização é r(x,y)=(x,y,1-x-y).
Então
rx=(1,0,-1),
ry=(0,1,-1)
e
n,dS =l(rxtimesryr),dA =(1,1,1),dA,
cuja componente k é positiva, de acordo com a orientação “para cima”.
Logo
integral duplaS(nablatimesF)cdot dS =integral duplaD(-1,-1,-1)cdot(1,1,1),dA =integral duplaD(-3),dA =-3cdotArea(D) =-3cdot12 =-tfrac32

Passo 4

Agora descrevemos a curva partial S, que é o triângulo com vértices
A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1)
Para a orientação induzida pelo normal “para cima”, percorremos Ato Bto Cto A.

Passo 5

Dividimos a integral de linha em três segmentos:
Segmento AB: r(t)=(1-t,t,0), tin[0,1].
dr=(-1,1,0),dt, F=(t,0,1-t), integralABFcdot dr =integral0^1 -t,dt=-tfrac12
Segmento BC: r(t)=(0,1-t,t), tin[0,1].
dr=(0,-1,1),dt, F=(1-t,t,0), integralBCFcdot dr =integral0^1 -t,dt=-tfrac12
Segmento CA: r(t)=(t,0,1-t), tin[0,1].
dr=(1,0,-1),dt, F=(0,1-t,t), integralCAFcdot dr =integral0^1 -t,dt=-tfrac12
Somando,
ointpartial SFcdot dr =-tfrac12-tfrac12-tfrac12 =-tfrac32

Passo 6

Vimos que
integral duplaS(nablatimesF)cdot dS =-tfrac32 e ointpartial SFcdot dr =-tfrac32,
logo os dois lados coincidem, confirmando o Teorema de Stokes.

Resposta

O Teorema de Stokes é verificado, pois ambos os integrais valem -tfrac32.

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