Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial e a superfície . , é a parte do plano que está no primeiro octante, orientada ascendentemente
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para
e a parte do plano no primeiro octante, orientada “para cima” (isto é, com componente do vetor normal positiva).
Vamos calcular os dois lados de Stokes:
Integral de superfície .
Integral de linha .
Passo 2
Primeiro calculamos o rotacional de :
Passo 3
Parametrizamos S por (x,y) com z=1-x-y, onde
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1-x
A parametrização é r(x,y)=(x,y,1-x-y).
Então rx=(1,0,-1), ry=(0,1,-1)
e
n,dS =l(rxtimesryr),dA =(1,1,1),dA,
cuja componente k é positiva, de acordo com a orientação “para cima”.
Logo
integral duplaS(nablatimesF)cdot dS =integral duplaD(-1,-1,-1)cdot(1,1,1),dA =integral duplaD(-3),dA =-3cdotArea(D) =-3cdot12 =-tfrac32
Passo 4
Agora descrevemos a curva partial S, que é o triângulo com vértices
A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1)
Para a orientação induzida pelo normal “para cima”, percorremos Ato Bto Cto A.
Passo 5
Dividimos a integral de linha em três segmentos:
Segmento AB: r(t)=(1-t,t,0), tin[0,1].
dr=(-1,1,0),dt, F=(t,0,1-t), integralABFcdot dr =integral0^1 -t,dt=-tfrac12
Segmento BC: r(t)=(0,1-t,t), tin[0,1].
dr=(0,-1,1),dt, F=(1-t,t,0), integralBCFcdot dr =integral0^1 -t,dt=-tfrac12
Segmento CA: r(t)=(t,0,1-t), tin[0,1].
dr=(1,0,-1),dt, F=(0,1-t,t), integralCAFcdot dr =integral0^1 -t,dt=-tfrac12
Somando,
ointpartial SFcdot dr =-tfrac12-tfrac12-tfrac12 =-tfrac32
Passo 6
Vimos que
integral duplaS(nablatimesF)cdot dS =-tfrac32 e ointpartial SFcdot dr =-tfrac32,
logo os dois lados coincidem, confirmando o Teorema de Stokes.
Resposta
O Teorema de Stokes é verificado, pois ambos os integrais valem -tfrac32.