a) Se r<1, a série sumn=1^+infty an é absolutamente convergente.

Passo 1

O enunciado considera uma série sumn=1^inftyan cujos termos an são não nulos e satisfazem
limntoinfty|an+1an|=r<1
O conteúdo é o teste da razão para convergência absoluta. Vamos mostrar que sum an converge absolutamente comparando-a com uma série geométrica.

Passo 2

Como r<1, podemos escolher um número q tal que
r < q < 1
Essa escolha nos permitirá estabelecer uma desigualdade l|an+1/anr|<q a partir de certo índice.

Passo 3

Pela definição de limite, existe NinN tal que, para todo n>= N,
|an+1an|<q ;;Longrightarrow;; |an+1|<q,|an|

Passo 4

Iterando a desigualdade do passo anterior para n=N,N+1,dots, obtemos
|aN+1|<q,|aN|, |aN+2|<q,|aN+1|<q^2|aN|,;dots,
logo, para n>= N,
|an|<= |aN|;q^,n-N
Assim, a cauda da série absoluta satisfaz
sumn=N^infty|an| <= |aN|sumk=0^inftyq^k = |aN|1-q<infty

Passo 5

Como somente faltam finitamente muitos termos antes de N, concluímos que
sumn=1^infty|an|
é soma de um número finito de termos mais uma série geométrica convergente. Portanto sumn=1^infty|an| converge, ou seja, sumn=1^inftyan é absolutamente convergente.

Resposta

A série sumn=1^inftyan converge absolutamente quando r<1.

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