43 Uma haste de comprimento 20 cm feita de um metal A se expande em 0,075 \mathrm{~cm} quando sua temperatura é aumentada de 0^{\circ} \mathrm{C} a 100^{\circ} \mathrm{C}. Outra haste de um metal diferente B com o mesmo comprimento se expande em 0,045 \mathrm{~cm} para a mesma mudança de temperatura. Uma terceira haste do mesmo comprimento é composta de duas partes, uma de metal A e outra de metal B. Esta haste se expande em 0,060 \mathrm{~cm} para a mesma mudança de temperatura. Determine o comprimento porção feita de metal A.

Passo 1

O enunciado dá três hastes, todas com comprimento inicial igual a 20\\ \text{cm}, e informa quanto cada uma se expande quando a temperatura aumenta de 0^\circ\text{C} para 100^\circ\text{C}. As informações são:
\text{Haste A: } \Delta L_A = 0,075\\ \text{cm} \text{ para } \Delta T = 100^\circ\text{C}
\text{Haste B: } \Delta L_B = 0,045\\ \text{cm} \text{ para } \Delta T = 100^\circ\text{C}
\text{Haste composta (A + B): } \Delta L_{\text{comp}} = 0,060\\ \text{cm} \text{ para } \Delta T = 100^\circ\text{C}
Pergunta pedida: determinar o comprimento da porção feita de metal A na haste composta (isto é, quantos centímetros da haste composta são de A).

Passo 2

Conceito fundamental (a “fórmula” que usamos): a dilatação linear de uma barra é proporcional ao seu comprimento inicial e à variação de temperatura. Escrevemos isso como
\Delta L = \alpha\,L\,\Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação de comprimento (em \text{cm}),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (em ^\circ\text{C}^{-1}),
  • L é o comprimento inicial (em \text{cm}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\text{C}).
    Intuição: se dobrarmos L mantendo \alpha e \Delta T, a dilatação \Delta L também dobra, pois é proporcional a L.

Passo 3

Vamos obter os coeficientes de dilatação de A e B usando \alpha=\dfrac{\Delta L}{L\,\Delta T}.
Para o metal A:
\alpha_A=\frac{0,075}{20\cdot 100}=\frac{0,075}{2000}=0,0000375\\ ^\circ\text{C}^{-1}.
Para o metal B:
\alpha_B=\frac{0,045}{20\cdot 100}=\frac{0,045}{2000}=0,0000225\\ ^\circ\text{C}^{-1}.
Outra forma equivalente (mais prática para este problema) é calcular quanto 1 cm de cada metal se expande quando \Delta T=100^\circ\text{C}:
\text{expansão por cm de A para }100^\circ\text{C}=\frac{0,075}{20}=0,00375\\ \text{cm},ã
\text{expansão por cm de B para }100^\circ\text{C}=\frac{0,045}{20}=0,00225\\ \text{cm}.ã

Passo 4

Seja x (em \text{cm}) o comprimento da porção feita de metal A na haste composta. Então a porção de B tem comprimento 20-x (em \text{cm}). A expansão total da haste composta, para \Delta T=100^\circ\text{C}, é soma das expansões das duas partes:
\Delta L_{\text{comp}} = (\text{expansão por cm de A})\cdot x + (\text{expansão por cm de B})\cdot(20-x).ãã

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos:
0,00375\,x + 0,00225\,(20-x) = 0,060.
Expandindo e simplificando passo a passo:
0,00375x + 0,00225\cdot 20 - 0,00225x = 0,060.
Calcule 0,00225\cdot 20:
0,00225\cdot 20 = 0,045.
Portanto:
0,00375x + 0,045 - 0,00225x = 0,060.

Passo 6

Combine os termos em x:
(0,00375-0,00225)x + 0,045 = 0,060
0,00150x + 0,045 = 0,060.
Subtraia 0,045 dos dois lados:
0,00150x = 0,015.
Divida ambos os lados por 0,00150:
x = \frac{0,015}{0,00150} = 10.

Passo 7

Interpretação: x=10 significa que 10\\ \text{cm} da haste composta são feitos do metal A (e os outros 10\\ \text{cm} são de B). Boa notícia: deu exatamente metade; às vezes a conta fica bonita assim. Você conseguiu — respira!

Resposta

10\\ \text{cm}

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