43 Uma haste de comprimento 20 cm feita de um metal A se expande em
quando sua temperatura é aumentada de
a
. Outra haste de um metal diferente B com o mesmo comprimento se expande em
para a mesma mudança de temperatura. Uma terceira haste do mesmo comprimento é composta de duas partes, uma de metal A e outra de metal B. Esta haste se expande em
para a mesma mudança de temperatura. Determine o comprimento porção feita de metal A.
Passo 1
O enunciado dá três hastes, todas com comprimento inicial igual a
, e informa quanto cada uma se expande quando a temperatura aumenta de
para
. As informações são:
Pergunta pedida: determinar o comprimento da porção feita de metal A na haste composta (isto é, quantos centímetros da haste composta são de A).
Passo 2
Conceito fundamental (a “fórmula” que usamos): a dilatação linear de uma barra é proporcional ao seu comprimento inicial e à variação de temperatura. Escrevemos isso como
onde:
-
é a variação de comprimento (em ), -
é o coeficiente de dilatação linear do material (em ), -
é o comprimento inicial (em ), -
é a variação de temperatura (em ).
Intuição: se dobrarmosmantendo e , a dilatação também dobra, pois é proporcional a .
Passo 3
Vamos obter os coeficientes de dilatação de A e B usando
.
Para o metal A:
Para o metal A:
Para o metal B:
Outra forma equivalente (mais prática para este problema) é calcular quanto 1 cm de cada metal se expande quando
:
Passo 4
Seja
(em
) o comprimento da porção feita de metal A na haste composta. Então a porção de B tem comprimento
(em
). A expansão total da haste composta, para
, é soma das expansões das duas partes:
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos:
Expandindo e simplificando passo a passo:
Calcule
:
Portanto:
Passo 6
Combine os termos em
:
Subtraia
dos dois lados:
Divida ambos os lados por
:
Passo 7
Interpretação:
significa que
da haste composta são feitos do metal A (e os outros
são de B). Boa notícia: deu exatamente metade; às vezes a conta fica bonita assim. Você conseguiu — respira!