36 Encontre o posto e a nulidade da matriz abaixo:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 & 5 \\\\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o posto e a nulidade da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\[6pt] -1 & 0 & 3 & 5 \\[6pt] 1 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Para isso, vamos usar eliminação de Gauss para reduzir A a uma forma escalonada e identificar o número de pivôs (posto) e, em seguida, aplicar o teorema do posto-nulidade.]

Passo 2

Aplicamos L_2 \leftarrow L_2 + L_1 e L_3 \leftarrow L_3 - L_1, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 2 & 4 & 5 \\[4pt] 0 & -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Em seguida, usamos L_3 \leftarrow L_3 + 2\,L_2 para zerar o elemento em (3,2):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 2 & 4 & 5 \\[4pt] 0 & 0 & 8 & 11 \end{pmatrix}.
Agora temos pivôs nas colunas 1, 2 e 3.]

Passo 4

O número de pivôs na forma escalonada é o posto de A. Portanto,
\text{posto}(A) = 3.

Passo 5

Pela dimensão do espaço coluna (posto-nulidade), a nulidade é
\text{nulidade}(A) = \text{número de colunas} - \text{posto}(A) = 4 - 3 = 1.ú

Resposta

O posto é 3 e a nulidade é 1.

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