Classifique os seguintes sistemas através do posto.
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+x_{4} & =5 \\\\ 4 x_{1}-x_{2}+5 x_{3}+\frac{1}{2} x_{4} & =1 \\\\ 8 x_{1}-2 x_{2}+10 x_{3}+x_{4} & =2 \\\\ 6 x_{1}+9 x_{2}-3 x_{3}+3 x_{4} & =15\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas. Para classificar o sistema pelo posto, vamos calcular o posto da matriz de coeficientes A e o posto da matriz aumentada (A\mid b) usando eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e aplicamos operações elementares para encontrar seu posto. Seja
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1\\\\ 4 & -1 & 5 & \tfrac12\\\\ 8 & -2 & 10 & 1\\\\ 6 & 9 & -3 & 3 \end{pmatrix}.
Fazendo
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-4R_1,\quad R_4\leftarrow R_4-3R_1
obtemos
\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1\\\\ 0 & -7 & 7 & -\tfrac32\\\\ 0 & -14 & 14 & -3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Em seguida,
R_3\leftarrow R_3-2R_2
transforma a terceira linha em zero, restando apenas duas linhas não-nulas. Logo,
\text{posto}(A)=2.

Passo 3

Agora a matriz aumentada (A\mid b) é
\bigl(A\mid b\bigr)= \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 &\vrule& 5\\\\ 4 & -1 & 5 & \tfrac12 &\vrule& 1\\\\ 8 & -2 & 10 & 1 &\vrule& 2\\\\ 6 & 9 & -3 & 3 &\vrule& 15 \end{pmatrix}.
Aplicando as mesmas operações:
R_2\leftarrow R_2-2R_1\colon\;1-2\cdot5=-9,\quad R_3\leftarrow R_3-4R_1\colon\;2-4\cdot5=-18,\quad R_4\leftarrow R_4-3R_1\colon\;15-3\cdot5=0
e depois
R_3\leftarrow R_3-2R_2
vê-se que restam também apenas duas linhas não-nulas. Portanto,
\text{posto}(A\mid b)=2.

Passo 4

Como os postos coincidem e são menores que o número de incógnitas ( 2<4), o sistema é possível indeterminado, isto é, admite infinitas soluções.

Resposta

posto (A)=2, posto (A\mid b)=2 so sistema possível e indeterminado (infinitas soluções).

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