(36) sumn=1^infty 1e^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma infinita sumn=1^infty 1e^n+1. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender se essa série converge (isto é, se ela tem um limite finito) e, se sim, descobrir qual é esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se essa série realmente converge. Para isso, podemos usar o teste da comparação. Olha só:
Sabemos que e^n cresce bem rápido conforme n aumenta. Então, e^n + 1 é sempre maior que e^n. Isso significa que:
1e^n + 1 < 1e^n
Agora, a série sumn=1^infty 1e^n é uma série geométrica com razão r = 1e < 1, o que sabemos que converge. Como nossa série original tem termos menores que uma série que converge, podemos concluir, pelo teste da comparação, que sumn=1^infty 1e^n+1 também converge.

Passo 3

Agora que sabemos que a série converge, a próxima pergunta é: qual é o valor dessa soma? Infelizmente, não existe uma fórmula direta para somar exatamente essa série. Mas, não se preocupe! Podemos aproximar o valor somando os primeiros termos até que a soma se estabilize.

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos da série para ter uma ideia do valor da soma:
n=1: & 1e^1 + 1 approx 0.2689 n=2: & 1e^2 + 1 approx 0.1192 n=3: & 1e^3 + 1 approx 0.0474 n=4: & 1e^4 + 1 approx 0.0180 n=5: & 1e^5 + 1 approx 0.0067 n=6: & 1e^6 + 1 approx 0.0025 n=7: & 1e^7 + 1 approx 0.0009 n=8: & 1e^8 + 1 approx 0.0003 n=9: & 1e^9 + 1 approx 0.0001 n=10: & 1e^10 + 1 approx 0.00004
Perceba que, à medida que n aumenta, os termos ficam cada vez menores e abaixo de 0.001. Isso significa que, após alguns termos, eles não contribuem muito para a soma total.

Passo 5

Vamos somar os termos que calculamos:
0.2689 + 0.1192 = 0.3881 + 0.0474 = 0.4355 + 0.0180 = 0.4535 + 0.0067 = 0.4602 + 0.0025 = 0.4627 + 0.0009 = 0.4636 + 0.0003 = 0.4640 + 0.0001 = 0.4641 + 0.00004 = 0.4641
Como os termos seguintes são menores que 0.0001, podemos parar por aqui e considerar que a soma total está próxima de 0.4642.

Resposta

A soma infinita sumn=1^infty 1e^n+1 é aproximadamente 0,4642.

Exercícios relacionados