Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre encontrar o intervalo e o raio de convergência de uma série de potências. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries de potências e o teste de razão para determinar onde a série converge. Precisamos entender como funciona a série e aplicar a teoria para achar esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a série que temos:
. Isso significa que cada termo da série é
. Podemos simplificar isso para
. Então, nossa série fica
.
Passo 3
Essa série se parece com uma série geométrica, que tem a forma
, onde
é a razão. Uma série geométrica converge quando
. No nosso caso,
.
Passo 4
Então, para encontrar onde a nossa série converge, vamos resolver a desigualdade
. Como
é sempre positivo, podemos simplificar para
.
Passo 5
Resolvendo
, dividimos ambos os lados por 9:
. Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
.
Passo 6
Então, o intervalo de convergência é
. O raio de convergência é a distância do centro do intervalo (que é 0) até qualquer uma das extremidades. Portanto, o raio de convergência é
.
Resposta
O intervalo de convergência é
e o raio de convergência é
.