Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(b) sumn=0^+infty(3 x)^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre encontrar o intervalo e o raio de convergência de uma série de potências. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries de potências e o teste de razão para determinar onde a série converge. Precisamos entender como funciona a série e aplicar a teoria para achar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a série que temos: . Isso significa que cada termo da série é . Podemos simplificar isso para . Então, nossa série fica .

Passo 3

Essa série se parece com uma série geométrica, que tem a forma , onde é a razão. Uma série geométrica converge quando . No nosso caso, .

Passo 4

Então, para encontrar onde a nossa série converge, vamos resolver a desigualdade . Como é sempre positivo, podemos simplificar para .

Passo 5

Resolvendo , dividimos ambos os lados por 9: . Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados: .

Passo 6

Então, o intervalo de convergência é . O raio de convergência é a distância do centro do intervalo (que é 0) até qualquer uma das extremidades. Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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