36 Como trabalho de Geometria, uma equipe de alunos deveria construir um cone circular reto com 15 cm de raio da base e 18 cm de geratriz. A equipe decidiu estruturar a superfície do cone em cartolina e, após alguns cálculos, concluiu que a superfície lateral deveria ser construída a partir de um setor circular de raio
e ângulo central de medida
, em grau. Determine
,
e a medida
da altura do cone a ser construído.
Passo 1
O enunciado pede para montar a superfície lateral de um cone circular reto de raio da base
cm e geratriz
cm usando um setor circular de raio
e ângulo central
(em graus). Vamos usar a ideia de que a lateral de um cone é um setor cujo raio é a geratriz e cujo arco, uma vez fechado, tem comprimento igual à circunferência da base. Para encontrar a altura
do cone, aplicaremos o Teorema de Pitágoras no triângulo geratriz–raio da base–altura.
Passo 2
Como o setor se transforma na lateral do cone, o raio do setor é exatamente a geratriz do cone. Logo,
,cm.
Passo 3
O comprimento do arco do setor deve fechar exatamente a circunferência da base do cone. Temos:
circunferência da base cm,
comprimento do arco rad
.
Convertendo de graus para radianos:
rad
.
Portanto,
circunferência da base
comprimento do arco
Convertendo
Portanto,
Passo 4
Para achar a altura
, considere o triângulo retângulo formado pela altura, pelo raio da base
cm e pela geratriz
cm. Aplica-se Pitágoras: