36 Como trabalho de Geometria, uma equipe de alunos deveria construir um cone circular reto com 15 cm de raio da base e 18 cm de geratriz. A equipe decidiu estruturar a superfície do cone em cartolina e, após alguns cálculos, concluiu que a superfície lateral deveria ser construída a partir de um setor circular de raio R e ângulo central de medida alpha, em grau. Determine R, alpha e a medida H da altura do cone a ser construído.

Passo 1

O enunciado pede para montar a superfície lateral de um cone circular reto de raio da base 15 cm e geratriz 18 cm usando um setor circular de raio R e ângulo central alpha (em graus). Vamos usar a ideia de que a lateral de um cone é um setor cujo raio é a geratriz e cujo arco, uma vez fechado, tem comprimento igual à circunferência da base. Para encontrar a altura H do cone, aplicaremos o Teorema de Pitágoras no triângulo geratriz–raio da base–altura.

Passo 2

Como o setor se transforma na lateral do cone, o raio do setor é exatamente a geratriz do cone. Logo,
R = 18,cm.

Passo 3

O comprimento do arco do setor deve fechar exatamente a circunferência da base do cone. Temos:
circunferência da base =2picdot15=30pi cm,
comprimento do arco =Rcdotl(alpha rad ).
Convertendo alpha de graus para radianos: alpha rad =alphacdotpi180.
Portanto,
18cdotl(alphacdotpi180r)=30pi
18alphapi180=30pi Longrightarrow alpha10=30 Longrightarrow alpha=300^circ

Passo 4

Para achar a altura H, considere o triângulo retângulo formado pela altura, pelo raio da base 15 cm e pela geratriz 18 cm. Aplica-se Pitágoras:
H^2 + 15^2 = 18^2 Longrightarrow H^2 = 324 - 225 = 99 Longrightarrow H = raiz99 = 3raiz11 cm

Resposta

R = 18 cm
alpha = 300^circ
H = 3raiz11 cm

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