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Num triângulo equilátero de lado a se inscreve uma circunferência de raio
. Nessa circunferência se inscreve um triângulo equilátero de lado a’ e neste inscrevese uma circunferência de raio
. Repete-se indefinidamente a operação.
Calcule:
a) o limite da soma dos lados dos triângulos;
b) o limite da soma dos raios das circunferências;
c) o limite da soma das áreas dos triângulos;
d) o limite da soma das áreas dos círculos.
a) o limite da soma dos lados dos triângulos;
b) o limite da soma dos raios das circunferências;
c) o limite da soma das áreas dos triângulos;
d) o limite da soma das áreas dos círculos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Um triângulo equilátero inicial de lado
. - Nele inscreve-se uma circunferência de raio
. - Nessa circunferência inscreve-se outro triângulo equilátero de lado
. - Nesse segundo triângulo inscreve-se outra circunferência de raio
. - O procedimento repete-se indefinidamente, gerando sequências de lados
e de raios .
- Um triângulo equilátero inicial de lado
-
O enunciado pede:
(a) o limite (soma dos termos) da soma dos lados dos triângulos:;
(b) o limite (soma) da soma dos raios das circunferências:;
(c) o limite (soma) da soma das áreas dos triângulos:;
(d) o limite (soma) da soma das áreas dos círculos:.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar fórmulas básicas do triângulo equilátero (isso é importante para entender a relação entre lado e raios).
-
Altura de um triângulo equilátero de lado
: .
(Porque dividindo em dois triângulos retângulos, o cateto oposto ao ângulo deé , e pela relação pitagórica obtém-se .) -
Inradius (raio da circunferência inscrita)
do triângulo equilátero: é a distância do centro ao lado, que vale um terço da altura: -
Circumradius (raio da circunferência circunscrita)
do triângulo equilátero: é a distância do centro ao vértice, que vale dois terços da altura: Note que.
Passo 3
Agora vamos relacionar o lado
do triângulo inicial com o raio
da circunferência inscrita nele (o enunciado já chama esse raio de
, vamos confirmar a fórmula).
- Pelo que vimos,
(Esta é a relação entre o lado do triângulo equilátero e o raio da circunferência inscrita.)
Passo 4
Encontrar a relação entre
e
(lado do triângulo inscrito na circunferência de raio
).
- Um triângulo equilátero inscrito numa circunferência tem circunrádio
igual ao raio dessa circunferência. Se é o lado de um triângulo equilátero e seu circunrádio, valem as fórmulas do passo anterior: - No nosso caso a circunferência tem raio
, portanto o lado do triângulo inscrito é - Substituindo
em termos de (da relação do Passo 3): Logo o segundo triângulo tem lado .
Passo 5
Relação entre raios sucessivos.
- Pelo Passo 3, para qualquer triângulo equilátero de lado
o raio inscrito é . Aplicando isso ao triângulo de lado : - Substituindo
obtém-se - Conclusão: tanto os lados quanto os raios reduzem por um fator constante
a cada iteração:
Passo 6
Soma infinita da sequência dos lados (item a). Vamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita.
- Fórmula: se
é uma progressão geométrica com primeiro termo e razão , com , então a soma infinita é - Aqui
e . Portanto
Passo 7
Soma infinita da sequência dos raios (item b).
- Agora
e a razão também é . Então
Passo 8
Áreas dos triângulos e soma (item c).
- Área de um triângulo equilátero de lado
: - Se os lados obedecem
, então as áreas obedecem Ou seja, a razão entre áreas consecutivas é . - Soma infinita das áreas:
Passo 9
Áreas dos círculos e soma (item d).
- Área do círculo de raio
: . - Como
, as áreas dos círculos reduzem por fator a cada iteração. Assim a razão das áreas é . - Soma infinita das áreas dos círculos:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)