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Num triângulo equilátero de lado a se inscreve uma circunferência de raio r. Nessa circunferência se inscreve um triângulo equilátero de lado a’ e neste inscrevese uma circunferência de raio r^{\prime}. Repete-se indefinidamente a operação.
Calcule:
a) o limite da soma dos lados dos triângulos;
b) o limite da soma dos raios das circunferências;
c) o limite da soma das áreas dos triângulos;
d) o limite da soma das áreas dos círculos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Um triângulo equilátero inicial de lado a.
    • Nele inscreve-se uma circunferência de raio r.
    • Nessa circunferência inscreve-se outro triângulo equilátero de lado a'.
    • Nesse segundo triângulo inscreve-se outra circunferência de raio r'.
    • O procedimento repete-se indefinidamente, gerando sequências de lados a, a', a'', \ldots e de raios r, r', r'',\ldots.
  • O enunciado pede:
    (a) o limite (soma dos termos) da soma dos lados dos triângulos: \sum a_n;
    (b) o limite (soma) da soma dos raios das circunferências: \sum r_n;
    (c) o limite (soma) da soma das áreas dos triângulos: \sum \text{Área}_{\triangle n}Á;
    (d) o limite (soma) da soma das áreas dos círculos: \sum \text{Área}_{\circ n}Á.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar fórmulas básicas do triângulo equilátero (isso é importante para entender a relação entre lado e raios).
  • Altura de um triângulo equilátero de lado s: \displaystyle h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,s.
    (Porque dividindo em dois triângulos retângulos, o cateto oposto ao ângulo de 60^\circ é \frac{s}{2}, e pela relação pitagórica obtém-se h=\sqrt{s^2-\left(\tfrac{s}{2}\right)^2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}s.)
  • Inradius (raio da circunferência inscrita) r_{\text{in}} do triângulo equilátero: é a distância do centro ao lado, que vale um terço da altura:
    r_{\text{in}}=\frac{h}{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,s=\frac{\sqrt{3}}{6}\,s.
  • Circumradius (raio da circunferência circunscrita) R do triângulo equilátero: é a distância do centro ao vértice, que vale dois terços da altura:
    R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,s=\frac{\sqrt{3}}{3}\,s.
    Note que R=2r_{\text{in}}.

Passo 3

Agora vamos relacionar o lado a do triângulo inicial com o raio r da circunferência inscrita nele (o enunciado já chama esse raio de r, vamos confirmar a fórmula).
  • Pelo que vimos, r=\frac{\sqrt{3}}{6}\,a.(Esta é a relação entre o lado do triângulo equilátero e o raio da circunferência inscrita.)

Passo 4

Encontrar a relação entre a e a' (lado do triângulo inscrito na circunferência de raio r).
  • Um triângulo equilátero inscrito numa circunferência tem circunrádio R igual ao raio dessa circunferência. Se \tilde s é o lado de um triângulo equilátero e R seu circunrádio, valem as fórmulas do passo anterior: R=\frac{\sqrt{3}}{3}\,\tilde s \quad\Longrightarrow\quad \tilde s=\sqrt{3}\,R.
  • No nosso caso a circunferência tem raio r, portanto o lado do triângulo inscrito é a'=\sqrt{3}\,r.
  • Substituindo r em termos de a (da relação do Passo 3): a'=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}\,a=\frac{3}{6}\,a=\frac{1}{2}\,a.Logo o segundo triângulo tem lado a'=\dfrac{a}{2}.

Passo 5

Relação entre raios sucessivos.
  • Pelo Passo 3, para qualquer triângulo equilátero de lado s o raio inscrito é \dfrac{\sqrt{3}}{6}s. Aplicando isso ao triângulo de lado a': r'=\frac{\sqrt{3}}{6}\,a'.
  • Substituindo a'=\dfrac{a}{2} obtém-se r'=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{a}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}\,a=\frac{1}{2}\,r.
  • Conclusão: tanto os lados quanto os raios reduzem por um fator constante k=\dfrac{1}{2} a cada iteração: a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n,\qquad r_{n+1}=\frac{1}{2}r_n.

Passo 6

Soma infinita da sequência dos lados (item a). Vamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita.
  • Fórmula: se \{x_n\} é uma progressão geométrica com primeiro termo x_1 e razão q, com |q|<1, então a soma infinita é \sum_{n=1}^{\infty} x_n=\frac{x_1}{1-q}.
  • Aqui x_1=a e q=\tfrac{1}{2}. Portanto \sum_{n=1}^{\infty} a_n=\frac{a}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{a}{\tfrac{1}{2}}=2a.

Passo 7

Soma infinita da sequência dos raios (item b).
  • Agora x_1=r e a razão também é q=\tfrac{1}{2}. Então \sum_{n=1}^{\infty} r_n=\frac{r}{1-\tfrac{1}{2}}=2r.

Passo 8

Áreas dos triângulos e soma (item c).
  • Área de um triângulo equilátero de lado s: A_{\triangle}(s)=\frac{\sqrt{3}}{4}\,s^{2}.
  • Se os lados obedecem a_{n+1}=\tfrac{1}{2}a_n, então as áreas obedecem A_{n+1}= \frac{\sqrt{3}}{4}\,a_{n+1}^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}a_n\right)^2 = \frac{1}{4}\,A_n.Ou seja, a razão entre áreas consecutivas é q_{\text{áreas}}=\tfrac{1}{4}á.
  • Soma infinita das áreas: A_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2},\qquad \sum_{n=1}^{\infty} A_n=\frac{A_1}{1-\tfrac{1}{4}}= \frac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}}{\tfrac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\,a^{2}.

Passo 9

Áreas dos círculos e soma (item d).
  • Área do círculo de raio r: C(r)=\pi r^{2}.
  • Como r_{n+1}=\tfrac{1}{2}r_n, as áreas dos círculos reduzem por fator \left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4} a cada iteração. Assim a razão das áreas é q_{\text{círculos}}=\tfrac{1}{4}í.
  • Soma infinita das áreas dos círculos: C_1=\pi r^{2},\qquad \sum_{n=1}^{\infty} C_n=\frac{C_1}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{\pi r^{2}}{ \tfrac{3}{4}}=\frac{4\pi}{3}\,r^{2}.

Resposta

(a) \;2a
(b) \;2r
(c) \;\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,a^{2}
(d) \;\dfrac{4\pi}{3}\,r^{2}

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