Num quadrado de lado a inscreve-se um círculo; nesse círculo se inscreve um novo quadrado e neste um novo círculo. Repetindo a operação indefinidamente, forneça:
a) a soma dos perímetros de todos os quadrados;
b) a soma dos perímetros de todos os círculos;
c) a soma das áreas de todos os quadrados;
d) a soma das áreas de todos os círculos.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dado: um quadrado inicial de lado a.
  • Operação: inscreve-se um círculo no quadrado; em seguida inscreve-se um quadrado nesse círculo; depois um círculo nesse novo quadrado; e assim por diante infinitamente.
  • Perguntas:
    (a) calcular a soma dos perímetros de todos os quadrados;
    (b) calcular a soma dos perímetros de todos os círculos;
    (c) calcular a soma das áreas de todos os quadrados;
    (d) calcular a soma das áreas de todos os círculos.

Passo 2

Entender a relação geométrica entre um quadrado e o círculo inscrito nele, e entre esse círculo e o quadrado inscrito no círculo (isto é, achar a razão de escala entre lados de quadrados sucessivos).
  • Para um quadrado de lado s, o círculo inscrito tem diâmetro igual ao lado do quadrado. Então o raio do círculo é r=\dfrac{s}{2}.
  • Agora, para um quadrado inscrito em um círculo de raio r: o diâmetro do círculo é igual à diagonal do quadrado inscrito. Se o lado do quadrado inscrito for s', então a diagonal vale s'\sqrt{2}. Como a diagonal é o diâmetro 2r, tem-se s'\sqrt{2}=2r.Substituindo r=\dfrac{s}{2} obtemos s'\sqrt{2}=2\cdot\frac{s}{2}=s \quad\Rightarrow\quad s'=\frac{s}{\sqrt{2}}.
  • Conclusão: cada quadrado sucessor tem lado obtido multiplicando o lado anterior por \dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Escrever a sequência dos lados dos quadrados e das grandezas que precisaremos somar.
  • Denotando por s_1 o lado do quadrado inicial, tem-se s_1=a.
  • Pelas relações do passo anterior, para n\ge1, s_n=a\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\,n-1}.Aqui s_n é o lado do n-ésimo quadrado (o primeiro é n=1 com lado a).
  • Perímetro do n-ésimo quadrado: P_{\text{q},n}=4s_n.
  • Perímetro (circunferência) do círculo inscrito no n-ésimo quadrado: o raio é r_n=\dfrac{s_n}{2}, então P_{\text{c},n}=2\pi r_n=\pi s_n.
  • Área do n-ésimo quadrado: A_{\text{q},n}=s_n^2.
  • Área do círculo inscrito no n-ésimo quadrado: A_{\text{c},n}=\pi r_n^2=\pi\frac{s_n^2}{4}=\frac{\pi}{4}s_n^2.

Passo 4

Relembrar a fórmula da soma de uma série geométrica e quando ela converge.
  • Se \{u_k\} é uma progressão geométrica com u_k=u_0 r^k e |r|<1, então a soma infinita existe e vale \sum_{k=0}^{\infty} u_0 r^k=\frac{u_0}{1-r}.
  • No nosso caso o fator de escala entre termos consecutivos s_{n+1}/s_n é r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, e |r|<1, logo as séries que envolvem s_n ou s_n^2 são geométricas convergentes.

Passo 5

Calcular a soma dos perímetros de todos os quadrados (item a).
  • Cada perímetro é P_{\text{q},n}=4s_n=4a\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\,n-1}.
  • Somando para n=1 até infinito: \sum_{n=1}^{\infty}P_{\text{q},n} =4a\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\,n-1}.
  • Aplicando a fórmula da série geométrica com primeiro termo 1 e razão r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}: \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\,n-1}=\frac{1}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}.
  • Portanto \sum_{n=1}^{\infty}P_{\text{q},n} =4a\cdot\frac{1}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}} =4a\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}.
  • Podemos simplificar racionalizando o denominador multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}+1: 4a\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} =4a\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} =4a\sqrt{2}(\sqrt{2}+1).Como \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, isto é 4a\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=4a(2+\sqrt{2}).
  • Resultado do item (a): \sum_{n=1}^{\infty}P_{\text{q},n}=4a\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=4a(2+\sqrt{2}).

Passo 6

Calcular a soma dos perímetros de todos os círculos (item b).
  • Perímetro do n-ésimo círculo: P_{\text{c},n}=\pi s_n=\pi a\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\,n-1}.
  • Somando: \sum_{n=1}^{\infty}P_{\text{c},n} =\pi a\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\,n-1} =\pi a\cdot\frac{1}{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}} =\pi a\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}.
  • Usando a mesma racionalização do passo anterior, \pi a\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\pi a\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=\pi a(2+\sqrt{2}).
  • Resultado do item (b): \sum_{n=1}^{\infty}P_{\text{c},n}=\pi a\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\pi a(2+\sqrt{2}).

Passo 7

Calcular a soma das áreas de todos os quadrados (item c).
  • Área do n-ésimo quadrado: A_{\text{q},n}=s_n^2=a^2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2(n-1)}=a^2\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}.
  • Somando a série geométrica com razão 1/2: \sum_{n=1}^{\infty}A_{\text{q},n} =a^2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1} =a^2\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}} =a^2\cdot 2.
  • Resultado do item (c): \sum_{n=1}^{\infty}A_{\text{q},n}=2a^2.

Passo 8

Calcular a soma das áreas de todos os círculos (item d).
  • Área do n-ésimo círculo: A_{\text{c},n}=\frac{\pi}{4}s_n^2=\frac{\pi}{4}a^2\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}.
  • Somando: \sum_{n=1}^{\infty}A_{\text{c},n} =\frac{\pi}{4}a^2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1} =\frac{\pi}{4}a^2\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}} =\frac{\pi}{4}a^2\cdot 2 =\frac{\pi}{2}a^2.
  • Resultado do item (d): \sum_{n=1}^{\infty}A_{\text{c},n}=\frac{\pi}{2}a^2.

Resposta

(a) \displaystyle 4a\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=4a(2+\sqrt{2})
(b) \displaystyle \pi a\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\pi a(2+\sqrt{2})
(c) \displaystyle 2a^{2}
(d) \displaystyle \frac{\pi}{2}a^{2}

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