Num quadrado de lado a inscreve-se um círculo; nesse círculo se inscreve um novo quadrado e neste um novo círculo. Repetindo a operação indefinidamente, forneça:
a) a soma dos perímetros de todos os quadrados;
b) a soma dos perímetros de todos os círculos;
c) a soma das áreas de todos os quadrados;
d) a soma das áreas de todos os círculos.
a) a soma dos perímetros de todos os quadrados;
b) a soma dos perímetros de todos os círculos;
c) a soma das áreas de todos os quadrados;
d) a soma das áreas de todos os círculos.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Dado: um quadrado inicial de lado
. - Operação: inscreve-se um círculo no quadrado; em seguida inscreve-se um quadrado nesse círculo; depois um círculo nesse novo quadrado; e assim por diante infinitamente.
- Perguntas:
(a) calcular a soma dos perímetros de todos os quadrados;
(b) calcular a soma dos perímetros de todos os círculos;
(c) calcular a soma das áreas de todos os quadrados;
(d) calcular a soma das áreas de todos os círculos.
Passo 2
Entender a relação geométrica entre um quadrado e o círculo inscrito nele, e entre esse círculo e o quadrado inscrito no círculo (isto é, achar a razão de escala entre lados de quadrados sucessivos).
- Para um quadrado de lado
, o círculo inscrito tem diâmetro igual ao lado do quadrado. Então o raio do círculo é . - Agora, para um quadrado inscrito em um círculo de raio
: o diâmetro do círculo é igual à diagonal do quadrado inscrito. Se o lado do quadrado inscrito for , então a diagonal vale . Como a diagonal é o diâmetro , tem-se Substituindo obtemos - Conclusão: cada quadrado sucessor tem lado obtido multiplicando o lado anterior por
.
Passo 3
Escrever a sequência dos lados dos quadrados e das grandezas que precisaremos somar.
- Denotando por
o lado do quadrado inicial, tem-se . - Pelas relações do passo anterior, para
, Aqui é o lado do -ésimo quadrado (o primeiro é com lado ). - Perímetro do
-ésimo quadrado: . - Perímetro (circunferência) do círculo inscrito no
-ésimo quadrado: o raio é , então . - Área do
-ésimo quadrado: . - Área do círculo inscrito no
-ésimo quadrado: .
Passo 4
Relembrar a fórmula da soma de uma série geométrica e quando ela converge.
- Se
é uma progressão geométrica com e , então a soma infinita existe e vale - No nosso caso o fator de escala entre termos consecutivos
é , e , logo as séries que envolvem ou são geométricas convergentes.
Passo 5
Calcular a soma dos perímetros de todos os quadrados (item a).
- Cada perímetro é
. - Somando para
até infinito: - Aplicando a fórmula da série geométrica com primeiro termo
e razão : - Portanto
- Podemos simplificar racionalizando o denominador multiplicando numerador e denominador por
: Como , isto é - Resultado do item (a):
Passo 6
Calcular a soma dos perímetros de todos os círculos (item b).
- Perímetro do
-ésimo círculo: . - Somando:
- Usando a mesma racionalização do passo anterior,
- Resultado do item (b):
Passo 7
Calcular a soma das áreas de todos os quadrados (item c).
- Área do
-ésimo quadrado: - Somando a série geométrica com razão
: - Resultado do item (c):
Passo 8
Calcular a soma das áreas de todos os círculos (item d).
- Área do
-ésimo círculo: - Somando:
- Resultado do item (d):
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)