Calcule a soma da série
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}+\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{3^{n+1}}+\ldots=
=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita dada por
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right).
Informações fornecidas:
  • A série é escrita como soma, para n variando de 1 até o infinito, dos termos \dfrac{1}{2^{n}}+\dfrac{1}{3^{n}}.
  • Cada termo da soma é a soma de duas parcelas positivas: \dfrac{1}{2^{n}} e \dfrac{1}{3^{n}}.
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa soma infinita?

Passo 2

Primeiro passo técnico: separar a soma em duas somas mais simples usando linearidade da soma de séries. Para séries numéricas que convergem, vale
\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+b_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n+\sum_{n=1}^{\infty}b_n.
Aqui podemos aplicar isso porque todos os termos são positivos (logo as somas são convergentes ou divergem positivamente — verificaremos), portanto a separação é válida. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}.
Agora vamos estudar cada uma dessas somas separadamente.

Passo 3

Explicação didática do método que será usado para cada soma (fórmula e justificativa). Considere uma sequência geométrica de razão r, com |r|<1. A soma parcial até N é
S_N = r + r^2 + \cdots + r^N.
Multiplicando S_N por (1-r) e fazendo contas, obtém-se a fórmula da soma parcial:
(1-r)S_N = r - r^{N+1}\quad\Rightarrow\quad S_N = \frac{r(1-r^{N})}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty. Tomando o limite N\to\infty na expressão de S_N vem
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
Nesta fórmula:
  • r é a razão da progressão geométrica (a quantidade que multiplica um termo para obter o próximo),
  • a condição |r|<1 garante que os termos vão a zero e a soma infinita converge.
Aplicaremos essa fórmula com r=\dfrac{1}{2} e com r=\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Calcular a primeira soma com r=\dfrac{1}{2}. Pela fórmula:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} = \frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}.
Agora simplificar a fração passo a passo:
1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
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\frac{\tfrac{1}{2}}{ \tfrac{1}{2} } = 1.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} = 1.

Passo 5

Calcular a segunda soma com r=\dfrac{1}{3}. Pela mesma fórmula:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}.
Simplificando:
1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},
portanto
\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{1}{2}.
Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} = \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Somar os dois resultados obtidos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right) = 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.
Interpretação rápida e incentivo: deu um número simples! Essas séries são clássicas e aparecem muito em prova — reconhecer a forma de soma geométrica e usar a fórmula r/(1-r) resolve rápido. Boa — já era!

Resposta

\dfrac{3}{2}

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