Calcule a soma da série
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita dada por
Informações fornecidas:
- A série é escrita como soma, para
variando de até o infinito, dos termos . - Cada termo da soma é a soma de duas parcelas positivas:
e .
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa soma infinita?
Passo 2
Primeiro passo técnico: separar a soma em duas somas mais simples usando linearidade da soma de séries. Para séries numéricas que convergem, vale
Aqui podemos aplicar isso porque todos os termos são positivos (logo as somas são convergentes ou divergem positivamente — verificaremos), portanto a separação é válida. Assim
Agora vamos estudar cada uma dessas somas separadamente.
Passo 3
Explicação didática do método que será usado para cada soma (fórmula e justificativa). Considere uma sequência geométrica de razão
, com
. A soma parcial até
é
Multiplicando
por
e fazendo contas, obtém-se a fórmula da soma parcial:
Se
, então
quando
. Tomando o limite
na expressão de
vem
Nesta fórmula:
-
é a razão da progressão geométrica (a quantidade que multiplica um termo para obter o próximo), - a condição
garante que os termos vão a zero e a soma infinita converge.
Aplicaremos essa fórmula com
e com
.
Passo 4
Calcular a primeira soma com
. Pela fórmula:
Agora simplificar a fração passo a passo:
logo
Portanto
Passo 5
Calcular a segunda soma com
. Pela mesma fórmula:
Simplificando:
portanto
Assim
Passo 6
Somar os dois resultados obtidos:
Interpretação rápida e incentivo: deu um número simples! Essas séries são clássicas e aparecem muito em prova — reconhecer a forma de soma geométrica e usar a fórmula r/(1-r) resolve rápido. Boa — já era!