36 (UFRGS) O valor de x para que os pontos A(x, 0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:
a) 0
b) 10
c) 3
d) 12
e) -4

Passo 1

O enunciado pede o valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares. O conteúdo aqui é geometria analítica no plano, usando a condição de que três pontos são colineares se, e somente se, a área do triângulo formado por eles for zero (equivalente ao determinante que envolve suas coordenadas).

Passo 2

A condição de colinearidade pode ser escrita como o determinante das coordenadas desses pontos igual a zero:
\begin{vmatrix} x & 0 & 1\\\\ 3 & 1 & 1\\\\ -4 & 2 & 1 \end{vmatrix} =0.

Passo 3

Vamos calcular esse determinante. Desenvolvendo pela primeira coluna:
\begin{vmatrix} x & 0 & 1\\\\ 3 & 1 & 1\\\\ -4 & 2 & 1 \end{vmatrix} = x\,(1\cdot1 - 1\cdot2)\;-\;0\;(3\cdot1 - 1\cdot(-4))\;+\;1\,(3\cdot2 - 1\cdot(-4)).
Isso dá
x\,(1-2) + 1\,(6+4) = -x + 10.

Passo 4

Igualando a zero para colinearidade:
-x + 10 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 10.

Resposta

b) 10

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