Verifique se os pontos \mathrm{A}, \mathrm{B} e C são ou não colineares nos seguintes casos:
A(4,2), B(6,8) e C(7,11)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos A(4,2), B(6,8) e C(7,11) estão na mesma reta. Isso envolve o conceito de colinearidade em geometria analítica: três pontos são colineares se os vetores que ligam um deles aos outros dois forem paralelos (ou se a área do triângulo formado por eles for zero).

Passo 2

Calculemos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = B - A = (6-4,\;8-2) = (2,\,6),
\overrightarrow{AC} = C - A = (7-4,\;11-2) = (3,\,9).

Passo 3

Para testar se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são paralelos, podemos verificar o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\det\begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ 6 & 9 \end{pmatrix} = 2\cdot9 - 6\cdot3 = 18 - 18 = 0.
Como o determinante é zero, os vetores são paralelos e, portanto, os pontos são colineares.

Resposta

Os pontos A, B e C são colineares.

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