Determine y^{\prime} em (-1,0) sabendo que x^{2}+\frac{1}{2} y=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
x^{2} + \tfrac{1}{2}y = 1
e pede a derivada y' válida para x\in(-1,0). O conteúdo é derivação implícita de funções.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x. A derivada de x^2 é 2x, e a de \tfrac{1}{2}y é \tfrac{1}{2}y', enquanto a constante 1 some:
\frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr) + \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{2}y\Bigr) = \frac{d}{dx}(1) \quad\Longrightarrow\quad 2x + \tfrac{1}{2}y' = 0.

Passo 3

Agora isolamos y'. Subtraindo 2x e multiplicando por 2, obtemos
\tfrac{1}{2}y' = -2x \quad\Longrightarrow\quad y' = -4x.

Passo 4

Para x\in(-1,0), temos -4x>0. Logo, nessa região a derivada é positiva.

Resposta

y' = -4x,\quad x\in(-1,0)\,,
e em particular y'>0 quando x está em (-1,0).

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