37-42 Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
37. r(t)=(3 t-t^3) i+3 t^2 j
38. r(t)=(1+t) i+(t^2-2 t) j
39. r(t)=cos t i+sen t j+t k
40. r(t)=t i+t^2 j+3 t k
41. r(t)=e^t i+raiz2 t j+e^-t k
42. r(t)=t i+cos ^2 t j+sen^2 t k

Passo 1

O enunciado pede para cada curva r(t) encontrar as componentes tangencial aT e normal aN do vetor aceleração. O conteúdo é cinemática vetorial em que usamos
v(t)=r'(t), a(t)=v'(t),
e as fórmulas
aT=ddtllvertv(t)rrvert, aN=llVertv(t)timesa(t)rrVertllvertv(t)rrvert

Passo 2

Aplicamos as definições: para cada item calculamos primeiro
v(t)=drdt e a(t)=dvdt, depois o módulo lvertv(t)rvert, em seguida
aT=ddtlvertv(t)rvert, aN=lVertv(t)timesa(t)rVertlvertv(t)rvert

Passo 3

Para r(t)=(3t-t^3),i+3t^2,j:
v=(3-3t^2,,6t), a=(-6t,,6)
lvertvrvert =raiz(3-3t^2)^2+(6t)^2 =3(t^2+1)
aT=ddt[3(t^2+1)]=6t
Em 2D extendemos em k nulo e calculamos
lVertvtimesarVert =llvert(3-3t^2)cdot6 -6tcdot(-6t)rrvert =18(1+t^2)
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aN=18(1+t^2)3(1+t^2)=6

Passo 4

Para r(t)=(1+t),i+(t^2-2t),j:
v=(1,,2t-2), a=(0,,2),
lvertvrvert =raiz1+(2t-2)^2, aT=ddtraiz1+4(t-1)^2 =4(t-1)raiz1+4(t-1)^2
E
lVertvtimesarVert =llvert1cdot2 - (2t-2)cdot0rrvert =2,
aN=2raiz1+4(t-1)^2

Passo 5

Para r(t)=cos t,i+sin t,j+t,k:
v=(-sin t,,cos t,,1), a=(-cos t,,-sin t,,0)
lvertvrvert =raizsin^2t+cos^2t+1=raiz2, aT=ddt(raiz2)=0
lVertvtimesarVert =raiz2, aN=raiz2raiz2=1

Passo 6

Para r(t)=t,i+t^2,j+3t,k:
v=(1,,2t,,3), a=(0,,2,,0),
lvertvrvert =raiz1+4t^2+9 =raiz10+4t^2, aT=ddtraiz10+4t^2 =4traiz10+4t^2
lVertvtimesarVert =raiz(-6)^2+2^2 =2raiz10, aN=2raiz10raiz10+4t^2

Passo 7

Para r(t)=e^t,i+raiz2,t,j+e^-t,k:
v=(e^t,,raiz2,,-e^-t), a=(e^t,,0,,e^-t),
lvertvrvert =raize^2t+2+e^-2t =e^t+e^-t, aT=ddt(e^t+e^-t) =e^t-e^-t
lVertvtimesarVert =raiz2,(e^t+e^-t)^2 =raiz2,(e^t+e^-t), aN=raiz2,(e^t+e^-t)e^t+e^-t=raiz2

Passo 8

Para r(t)=t,i+cos^2t,j+sin^2t,k:
v=(1,,-sin2t,,sin2t), a=(0,,-2cos2t,,2cos2t)
lvertvrvert =raiz1+2sin^2 2t, ddtl(1+2sin^2 2tr) =4sin4t
aT =12raiz1+2sin^2 2t;4sin4t =2sin4traiz1+2sin^2 2t
lVertvtimesarVert =2raiz2,lvertcos2trvert, aN =2raiz2,lvertcos2trvertraiz1+2sin^2 2t

Resposta

  1. aT=6t, aN=6
  2. aT=dfrac4(t-1)raiz1+4(t-1)^2, aN=dfrac2raiz1+4(t-1)^2
  3. aT=0, aN=1
  4. aT=dfrac4traiz10+4t^2, aN=dfrac2raiz10raiz10+4t^2
  5. aT=e^t-e^-t, aN=raiz2
  6. aT=dfrac2sin4traiz1+2sin^2 2t, aN=dfrac2raiz2,|cos2t|raiz1+2sin^2 2t

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