Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um contraexemplo ou corrija.
Se f(2)=g(2), então f^prime(2)=g^prime(2).

Passo 1

O enunciado afirma que “se f(2)=g(2), então f'(2)=g'(2)”. Aqui o conteúdo é análise de igualdade de valores de funções num ponto versus igualdade de derivadas. Vamos verificar se igualdade num ponto força igualdade de derivadas.

Passo 2

Em geral, saber que duas funções coincidem apenas em um ponto não garante que suas taxas de variação naquele ponto sejam iguais. A derivada mede o comportamento instantâneo da função, e duas funções podem se tocar num ponto sem ter a mesma inclinação ali.

Passo 3

Contraexemplo explícito: seja
f(x)=x^2
e
g(x)=x^2 + (x-2)
Então
f(2)=2^2=4, g(2)=2^2+(2-2)=4,
porém
f'(x)=2x Rightarrow f'(2)=4,
g'(x)=2x+1 Rightarrow g'(2)=5
Logo, f(2)=g(2) mas f'(2)neq g'(2).

Passo 4

Uma correção verdadeira seria: “se f(x)=g(x) para todos os x num intervalo aberto que contenha 2, então f'(2)=g'(2)”, porque aí as duas funções coincidem em uma vizinhança e, por consequência, têm a mesma derivada em 2.

Resposta

Falso.

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