Em cada item, encontre a área limitada pelo gráfico da função f(x) e o eixo x
f(x)=3 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área que está entre o gráfico da função f(x) = 3x - x^2 e o eixo x . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, que ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função f(x) cruza o eixo x . Isso acontece quando f(x) = 0 . Então, vamos resolver a equação:
3x - x^2 = 0
Fatorando:
x(3 - x) = 0
Assim, temos duas soluções: x = 0 e x = 3 . Esses são os pontos onde o gráfico toca o eixo x .

Passo 3

Agora que sabemos onde a função cruza o eixo x , vamos calcular a área entre esses dois pontos ( x = 0 e x = 3 ). Para isso, usamos a integral definida de f(x) entre esses limites:
Área = integral0^3 (3x - x^2) , dx Á

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
integral 3x , dx = 32x^2
integral x^2 , dx = 13x^3
Então, a integral completa fica:
integral0^3 (3x - x^2) , dx = [ 32x^2 - 13x^3 ]0^3

Passo 5

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração ( x = 3 e x = 0 ):
( 32(3)^2 - 13(3)^3 ) - ( 32(0)^2 - 13(0)^3 )
Calculando:
32 times 9 = 272
13 times 27 = 9
Então:
272 - 9 = 272 - 182 = 92

Resposta

A área limitada pelo gráfico de f(x) = 3x - x^2 e pelo eixo x é dfrac92 unidades quadradas.

Exercícios relacionados