Use as regras de derivação para derivar cada função.
f(x)=x \operatorname{arccos} (3 x)=x \cos ^{-1}(3 x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de
f(x)=x,arccos(3x)
Aqui vamos usar duas ferramentas: a regra do produto (para derivar xcdotarccos(3x)) e a regra da cadeia aplicada à derivada de arccos(u).

Passo 2

Seja
u(x)=x, v(x)=arccos(3x)
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Como u'(x)=1, fica
f'(x)=arccos(3x)+x,v'(x)

Passo 3

Agora precisamos de v'(x) com v(x)=arccos(3x). Sabemos que
ddul[arccos(u)r]=-1raiz1-u^2,
logo, aplicando a regra da cadeia com u=3x,
v'(x) =-1raiz1-(3x)^2cdotddx(3x) =-3raiz1-9x^2

Passo 4

Substituindo v'(x) em f'(x)=arccos(3x)+x,v'(x), temos
f'(x)=arccos(3x) +x(-3raiz1-9x^2) =arccos(3x)-3xraiz1-9x^2

Resposta

f'(x)=arccos(3x)-3xraiz1-9x^2

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