37.8P Mostre que um gás ideal expandindo-se adiabaticamente do estado \left(p_{i}, V_{i}\right) para o estado \left(p_{f}, V_{f}\right) realiza um trabalho dado por
W=\frac{1}{\gamma-1}\left(p_{i} V_{i}-p_{f} V_{f}\right) .

Passo 1

O enunciado dá que um gás ideal sofre uma expansão adiabática do estado inicial \left(p_{i},V_{i}\right) para o estado final \left(p_{f},V_{f}\right).
A pergunta é: mostrar que o trabalho realizado pelo gás nessa expansão é
W=\frac{1}{\gamma-1}\left(p_{i}V_{i}-p_{f}V_{f}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • É um gás ideal.
  • O processo é adiabático (ou seja, não há troca de calor com o entorno).
  • Estados inicial e final dados por \left(p_{i},V_{i}\right) e \left(p_{f},V_{f}\right).
  • A constante adiabática \gamma aparece na expressão pedida (onde \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}).

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa “trabalho realizado pelo gás” num processo quasistático: para um processo em que a pressão do gás se ajusta continuamente, o trabalho feito pelo gás ao expandir de V_i para V_f é
W=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV,
onde p é a pressão do gás ao longo do processo. Aqui usamos a convenção usual em termodinâmica onde W>0 quando o gás realiza trabalho sobre o ambiente (expansão).

Passo 3

Precisamos de uma expressão para p em função de V ao longo de um processo adiabático reversível de gás ideal. Vou derivar a relação \,pV^{\gamma}=\text{constante}\, (a chamada lei de Poisson), passo a passo e explicando cada símbolo.
  • A primeira lei da termodinâmica, com a convenção W=\int p\,dV, escreve-se diferencialmente como
dU=\delta Q-\delta W.
Para um processo adiabático vale \delta Q=0, logo
dU=-\delta W.
  • Para um gás ideal a energia interna U depende apenas da temperatura T. Para n mols do gás,
dU=nC_V\,dT,
onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante. Substituindo em dU=-\delta W e lembrando \delta W=p\,dV, obtemos
nC_V\,dT = - p\,dV.
  • Também temos a equação dos gases ideais
pV=nRT,
onde R é a constante dos gases e n o número de mols. Diferenciando essa relação,
p\,dV + V\,dp = nR\,dT.
  • Isolamos dT em termos de dp e dV:
dT=\frac{p\,dV+V\,dp}{nR}.
  • Substituímos esse dT na expressão nC_V\,dT = - p\,dV:
nC_V\frac{p\,dV+V\,dp}{nR} = -p\,dV.
Cancelar n e reorganizar:
C_V\left(p\,dV+V\,dp\right) = -R p\,dV.
Expandindo e juntando os termos com p\,dV:
C_V V\,dp = -\left(R + C_V\right)p\,dV.
Mas pela relação entre capacidades térmicas C_P = C_V + R, o parêntese é C_P. Assim
C_V V\,dp = - C_P p\,dV.
  • Dividindo ambos os lados por pV
\frac{dp}{p} = -\frac{C_P}{C_V}\frac{dV}{V}.
Definindo \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}, obtemos
\frac{dp}{p} = -\gamma\frac{dV}{V}.
  • Integrando essa relação entre os estados inicial e final:
\int_{p_i}^{p_f}\frac{dp}{p} = -\gamma\int_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V}
\Rightarrow \ln\frac{p_f}{p_i} = -\gamma\ln\frac{V_f}{V_i}
\Rightarrow \ln\left(\frac{p_f V_f^{\gamma}}{p_i V_i^{\gamma}}\right)=0
\Rightarrow pV^{\gamma}=\text{constante}.
Portanto, ao longo de um processo adiabático reversível de gás ideal vale
p=K\,V^{-\gamma},
onde K é uma constante que pode ser escrita como K=p_i V_i^{\gamma}=p_f V_f^{\gamma}.

Passo 4

Agora voltamos ao cálculo do trabalho usando a forma p=K V^{-\gamma}. Substituindo na integral do trabalho:
W=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV = \int_{V_i}^{V_f} K V^{-\gamma}\,dV.
Integrando (lembre-se da fórmula \int V^{n}\,dV=\dfrac{V^{n+1}}{n+1}, válida para n\neq-1; aqui n=-\gamma e \gamma>1 para gases reais):
W = K\left[\frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right]_{V_i}^{V_f} = \frac{K}{1-\gamma}\left(V_f^{\,1-\gamma}-V_i^{\,1-\gamma}\right).
Agora usemos K=pV^{\gamma}. Observe que K V^{1-\gamma} = pV^{\gamma}V^{1-\gamma}=pV. Aplicando isso para os limites inicial e final:
W = \frac{1}{1-\gamma}\left(p_f V_f - p_i V_i\right).
Finalmente, multiplicando numerador e denominador por -1 para ficar numa forma mais convencional (e isolando o fator \gamma-1 no denominador),
W = \frac{1}{\gamma-1}\left(p_i V_i - p_f V_f\right).

Passo 5

Resumo didático e interpretação rápida: o trabalho foi obtido integrando W=\int p\,dV e usando a lei adiabática pV^{\gamma}= constante, que por sua vez vem da primeira lei aplicada a um gás ideal com \delta Q=0. A expressão final mostra que o trabalho depende apenas dos produtos pV nos estados inicial e final — coisa prática para prova: bastam os pares (p_i,V_i) e (p_f,V_f) e o valor de \gamma.

Resposta

W=\frac{1}{\gamma-1}\left(p_{i}V_{i}-p_{f}V_{f}\right)

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