37.8P Mostre que um gás ideal expandindo-se adiabaticamente do estado
para o estado
realiza um trabalho dado por
Passo 1
O enunciado dá que um gás ideal sofre uma expansão adiabática do estado inicial
para o estado final
.
A pergunta é: mostrar que o trabalho realizado pelo gás nessa expansão é
A pergunta é: mostrar que o trabalho realizado pelo gás nessa expansão é
Informações relevantes fornecidas:
- É um gás ideal.
- O processo é adiabático (ou seja, não há troca de calor com o entorno).
- Estados inicial e final dados por
e . - A constante adiabática
aparece na expressão pedida (onde ).
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa “trabalho realizado pelo gás” num processo quasistático: para um processo em que a pressão do gás se ajusta continuamente, o trabalho feito pelo gás ao expandir de
para
é
onde
é a pressão do gás ao longo do processo. Aqui usamos a convenção usual em termodinâmica onde
quando o gás realiza trabalho sobre o ambiente (expansão).
Passo 3
Precisamos de uma expressão para
em função de
ao longo de um processo adiabático reversível de gás ideal. Vou derivar a relação
(a chamada lei de Poisson), passo a passo e explicando cada símbolo.
- A primeira lei da termodinâmica, com a convenção
, escreve-se diferencialmente como
Para um processo adiabático vale
, logo
- Para um gás ideal a energia interna
depende apenas da temperatura . Para mols do gás,
onde
é a capacidade térmica molar a volume constante. Substituindo em
e lembrando
, obtemos
- Também temos a equação dos gases ideais
onde
é a constante dos gases e
o número de mols. Diferenciando essa relação,
- Isolamos
em termos de e :
- Substituímos esse
na expressão :
Cancelar
e reorganizar:
Expandindo e juntando os termos com
:
Mas pela relação entre capacidades térmicas
, o parêntese é
. Assim
- Dividindo ambos os lados por
dá
Definindo
, obtemos
- Integrando essa relação entre os estados inicial e final:
Portanto, ao longo de um processo adiabático reversível de gás ideal vale
onde
é uma constante que pode ser escrita como
.
Passo 4
Agora voltamos ao cálculo do trabalho usando a forma
. Substituindo na integral do trabalho:
Integrando (lembre-se da fórmula
, válida para
; aqui
e
para gases reais):
Agora usemos
. Observe que
. Aplicando isso para os limites inicial e final:
Finalmente, multiplicando numerador e denominador por
para ficar numa forma mais convencional (e isolando o fator
no denominador),
Passo 5
Resumo didático e interpretação rápida: o trabalho foi obtido integrando
e usando a lei adiabática
constante, que por sua vez vem da primeira lei aplicada a um gás ideal com
. A expressão final mostra que o trabalho depende apenas dos produtos
nos estados inicial e final — coisa prática para prova: bastam os pares
e
e o valor de
.