37.9P Um gás ideal contendo N moléculas expande-se adiabaticamente e no processo sua temperatura cai de T_{i} para T_{f}. Mostre que o gás realiza o trabalho.
W=\frac{N k}{\gamma-1}\left(T_{i}-T_{f}\right)

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo abaixo veio do enunciado):
  • Um gás ideal contém N moléculas.
  • O gás passa por uma expansão adiabática, durante a qual sua temperatura cai de T_{i} para T_{f}.
  • É pedido mostrar que o trabalho realizado pelo gás ao longo desse processo é
W=\frac{N k}{\gamma-1}\left(T_{i}-T_{f}\right).
Variáveis e constantes que aparecem: W (trabalho realizado pelo gás), N (número de moléculas), k (constante de Boltzmann), \gamma (razão dos calores específicos), T_{i} e T_{f} (temperaturas inicial e final).

Passo 2

Usar a primeira lei da termodinâmica e a convenção de sinais para trabalho.
  • A primeira lei, em forma diferencial, é
dU=\delta Q-\delta W,
onde dU é a variação da energia interna do sistema, \delta Q é o calor trocado com o ambiente e \delta W é o trabalho realizado pelo sistema.
  • No processo adiabático vale \delta Q=0. Então
dU=-\delta W.
  • Integrando do estado inicial ao final, obtemos o trabalho total realizado pelo gás:
W=\int \delta W = -\int dU = -(U_{f}-U_{i})=U_{i}-U_{f}.
Aqui U_{i} e U_{f} são as energias internas nas temperaturas T_{i} e T_{f}. Ou seja: para um processo adiabático reversível (e em geral para qualquer adiabático), o trabalho realizado pelo gás é igual à redução da energia interna.

Passo 3

Expressar a energia interna do gás ideal em função da temperatura.
  • Para um gás ideal mono ou poliatômico (sem interações), a energia interna depende somente da temperatura e é proporcional ao número de moléculas e ao calor específico a volume constante por molécula c_{v}:
U=N c_{v} T.
  • Aqui c_{v} é a capacidade térmica por molécula (unidade: energia/temperatura por molécula). Explicando esse c_{v}: é a quantidade de energia interna que aumenta por unidade de temperatura para cada molécula quando o volume é mantido constante.

Passo 4

Relacionar c_{v} com \gamma e k.
  • A razão adiabática \gamma é definida como a razão entre as capacidades térmicas a pressão constante e a volume constante. Em termos por molécula:
\gamma=\frac{c_{p}}{c_{v}}.
  • Para um gás ideal vale a relação (versão por molécula da identidade C_{p}-C_{v}=R):
c_{p}-c_{v}=k,
porque R (constante dos gases ideais por mol) dividido pelo número de Avogadro N_{A} é a constante de Boltzmann k.
  • Substituindo c_{p}=c_{v}+k em \gamma
\gamma=\frac{c_{v}+k}{c_{v}}=1+\frac{k}{c_{v}}.
  • Isolando c_{v} obtemos
\gamma-1=\frac{k}{c_{v}}\quad\Rightarrow\quad c_{v}=\frac{k}{\gamma-1}.
Esse é um passo importante: mostra que o calor específico por molécula a volume constante pode ser escrito em termos de k e \gamma.

Passo 5

Calcular \Delta U e então W.
  • Usando U=N c_{v} T e c_{v}=\dfrac{k}{\gamma-1}, temos para a energia interna inicial e final:
U_{i}=N\frac{k}{\gamma-1}T_{i},\qquad U_{f}=N\frac{k}{\gamma-1}T_{f}.
  • A variação da energia interna é
\Delta U=U_{f}-U_{i}=N\frac{k}{\gamma-1}\left(T_{f}-T_{i}\right).
  • Pelo resultado do Passo 2, o trabalho realizado pelo gás (positivo quando o gás realiza trabalho) é W=-(\Delta U)=U_{i}-U_{f}. Substituindo \Delta U obtemos
W=N\frac{k}{\gamma-1}\left(T_{i}-T_{f}\right).

Passo 6

Comentário didático rápido e checagem de consistência.
  • Interpretação física: numa expansão adiabática o gás não recebe calor, então todo o trabalho que ele realiza sai da energia interna, o que reduz a temperatura. A expressão encontrada mostra isso de forma explícita.
  • Verificação de dimensões: k tem dimensão de energia/temperatura, multiplicado por N e por uma diferença de temperaturas dá energia, que é a unidade correta para trabalho.

Resposta

W=\frac{N k}{\gamma-1}\left(T_{i}-T_{f}\right)

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