37.9P Um gás ideal contendo
moléculas expande-se adiabaticamente e no processo sua temperatura cai de
para
. Mostre que o gás realiza o trabalho.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo abaixo veio do enunciado):
- Um gás ideal contém
moléculas. - O gás passa por uma expansão adiabática, durante a qual sua temperatura cai de
para . - É pedido mostrar que o trabalho realizado pelo gás ao longo desse processo é
Variáveis e constantes que aparecem:
(trabalho realizado pelo gás),
(número de moléculas),
(constante de Boltzmann),
(razão dos calores específicos),
e
(temperaturas inicial e final).
Passo 2
Usar a primeira lei da termodinâmica e a convenção de sinais para trabalho.
- A primeira lei, em forma diferencial, é
onde
é a variação da energia interna do sistema,
é o calor trocado com o ambiente e
é o trabalho realizado pelo sistema.
- No processo adiabático vale
. Então
- Integrando do estado inicial ao final, obtemos o trabalho total realizado pelo gás:
Aqui
e
são as energias internas nas temperaturas
e
. Ou seja: para um processo adiabático reversível (e em geral para qualquer adiabático), o trabalho realizado pelo gás é igual à redução da energia interna.
Passo 3
Expressar a energia interna do gás ideal em função da temperatura.
- Para um gás ideal mono ou poliatômico (sem interações), a energia interna depende somente da temperatura e é proporcional ao número de moléculas e ao calor específico a volume constante por molécula
:
- Aqui
é a capacidade térmica por molécula (unidade: energia/temperatura por molécula). Explicando esse : é a quantidade de energia interna que aumenta por unidade de temperatura para cada molécula quando o volume é mantido constante.
Passo 4
Relacionar
com
e
.
- A razão adiabática
é definida como a razão entre as capacidades térmicas a pressão constante e a volume constante. Em termos por molécula:
- Para um gás ideal vale a relação (versão por molécula da identidade
):
porque
(constante dos gases ideais por mol) dividido pelo número de Avogadro
é a constante de Boltzmann
.
- Substituindo
em dá
- Isolando
obtemos
Esse é um passo importante: mostra que o calor específico por molécula a volume constante pode ser escrito em termos de
e
.
Passo 5
Calcular
e então
.
- Usando
e , temos para a energia interna inicial e final:
- A variação da energia interna é
- Pelo resultado do Passo 2, o trabalho realizado pelo gás (positivo quando o gás realiza trabalho) é
. Substituindo obtemos
Passo 6
Comentário didático rápido e checagem de consistência.
- Interpretação física: numa expansão adiabática o gás não recebe calor, então todo o trabalho que ele realiza sai da energia interna, o que reduz a temperatura. A expressão encontrada mostra isso de forma explícita.
- Verificação de dimensões:
tem dimensão de energia/temperatura, multiplicado por e por uma diferença de temperaturas dá energia, que é a unidade correta para trabalho.