[37] Considere partial^2 fpartial y partial x(2,3).
(37.1) Calcule x=g(u, v)=u v+2 v, y=h(u, v), h(0,1)=3, partial hpartial u(0,1)=2 e.
(37.2) Se partial fpartial v(0,1)=-4 partial fpartial u(0,1), calcule partial hpartial v(0,1) e .

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função de duas variáveis
no ponto (2,3) e depois usamos regra da cadeia com as transformações
f(x,y)=ln(xy^2)+arctg(x^2-y)
para calcular derivadas parciais compostas. Vamos precisar de derivadas parciais de f, da regra da cadeia e dos dados fornecidos.

Passo 2

Calcular partial^2 fpartial ypartial x(x,y): primeiro encontramos
partial fpartial x=1x+2x1+(x^2-y)^2
e em seguida derivamos em relação a y apenas a parte que depende de y. Como 1/x não depende de y, temos
partial^2 fpartial ypartial x=partialpartial y!l(2x1+(x^2-y)^2r) =4x(x^2-y)l(1+(x^2-y)^2r)^2

Passo 3

Avaliar em (2,3): aqui x^2-y=4-3=1, então
partial^2 fpartial ypartial x(2,3)=4cdot2cdot1(1+1^2)^2=84=2

Passo 4

Para a parte (37.2), usamos a regra da cadeia em u e v: com xu=partial x/partial u=v, xv=u+2, yu=hu, yv=hv, temos
(u,v)=(0,1)
avaliadas em (x,y)=(2,3) correspondendo ao ponto .

Passo 5

Calcular fx e fy em (2,3): já temos

Passo 6

Usar partial f/partial v(0,1)=-4: substituindo em

de onde

Passo 7

Finalmente, calcular partial f/partial u(0,1):

Resposta

(37.1) 2; (37.2) partial f/partial u(0,1)=tfrac52+tfrace3, partial h/partial v(0,1)=-54

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