Calcule a derivada de cada função composta dada a seguir.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: precisamos derivar a função composta y = ln(1 + x^x). Vamos usar a regra da cadeia para ln(u) e também a técnica de derivar x^x via exponenciação.

Passo 2

Aplicar a regra da cadeia em y = ln(1 + x^x): temos y’ = \frac{1}{1 + x^x} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^x) = \frac{(x^x)’}{1 + x^x}.
Derivar x^x: escrevemos x^x = e^{x\ln x}. Então
ddx(x^x) = e^xln x cdot ddx(xln x) = x^x l(ln x + 1r)
Substituir (x^x)’ em y’:
y' = x^x (ln x + 1)1 + x^x

Resposta

y' = x^x(ln x + 1)1 + x^x

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