37-\int e^{x} \cdot \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{x}\cos(x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes, que vamos aplicar duas vezes para obter uma equação em I.

Passo 2

Definimos
I = \int e^{x}\cos(x)\,dx.
Para a primeira aplicação de integração por partes, escolhemos
u = e^{x},\quad dv = \cos(x)\,dx,
logo
du = e^{x}\,dx,\quad v = \sin(x).

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
I = e^{x}\sin(x) - \int \sin(x)\,e^{x}\,dx.
Chamemos
J = \int e^{x}\sin(x)\,dx,
para tratar essa nova integral.

Passo 4

Agora calculamos
J = \int e^{x}\sin(x)\,dx
por partes de novo, com
u = e^{x},\quad dv = \sin(x)\,dx
assim
du = e^{x}\,dx,\quad v = -\cos(x).
Logo
J = -e^{x}\cos(x) - \int \bigl(-\cos(x)\bigr)\,e^{x}\,dx = -e^{x}\cos(x) + \int e^{x}\cos(x)\,dx = -e^{x}\cos(x) + I.

Passo 5

Substituindo J na expressão de I:
I = e^{x}\sin(x) - J = e^{x}\sin(x) - \bigl(-e^{x}\cos(x) + I\bigr) = e^{x}\sin(x) + e^{x}\cos(x) - I.
Reagrupando os termos em I:
I + I = 2I = e^{x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C.

Resposta

\int e^{x}\cos(x)\,dx = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C.

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