43-\int \frac{2 x+3}{x^{2}+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva da função
\frac{2x+3}{x^2+x}
e subtrair de 43, ou seja, calcular
F(x)=43-\int \frac{2x+3}{x^2+x}\,dx.
Conteúdo: integração de funções racionais por decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador e montamos a decomposição em frações parciais. Como
x^2+x = x(x+1),
procuramos constantes A e B tais que
\frac{2x+3}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x+1), vem
2x+3 = A(x+1) + Bx = (A+B)x + A.
Igualando coeficientes de x e termo independente, obtemos
A + B = 2, \quad A = 3 \;\Longrightarrow\; A=3,\;B=-1.

Passo 3

Com A=3 e B=-1, reescrevemos o integrando:
\frac{2x+3}{x(x+1)} = \frac{3}{x} - \frac{1}{x+1}.
Integramos termo a termo:
\int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln|x|, \qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1|.
Portanto
\int \frac{2x+3}{x^2+x}\,dx = 3\ln|x| - \ln|x+1| + C_1.

Passo 4

Voltando a F(x):
F(x) = 43 - \bigl(3\ln|x| - \ln|x+1|\bigr) + C_1 = 43 - 3\ln|x| + \ln|x+1| + C_1.
Como 43 e C_1 são constantes, podemos absorver tudo numa constante única C.

Resposta

F(x) = 43 - 3\ln|x| + \ln|x+1| + C.

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