Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais de funções com mais de uma variável e depois aplicar isso para encontrar as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e
.
A função é
. Para derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Aplicando a regra da cadeia:
De forma similar, derivando em relação a
:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos pro próximo nível: as derivadas de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas que acabamos de encontrar.
Primeiro, vamos encontrar
. Para isso, derivamos
em relação a
.
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar
. Derivamos
em relação a
.
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Por último, vamos encontrar a derivada mista
. Vamos derivar
em relação a
.
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: