Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem .
z = (x^2 + y^2)^(3/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais de funções com mais de uma variável e depois aplicar isso para encontrar as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de em relação a e .
A função é . Para derivar em relação a , tratamos como uma constante.
Aplicando a regra da cadeia:
De forma similar, derivando em relação a :

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos pro próximo nível: as derivadas de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas que acabamos de encontrar.
Primeiro, vamos encontrar . Para isso, derivamos em relação a .
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar . Derivamos em relação a .
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 5

Por último, vamos encontrar a derivada mista . Vamos derivar em relação a .
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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