Use a derivação implícita para encontrar partial z / partial z e partial z / partial y.
x y^2 z^3+x^3 y^2 z=x+y+z

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação e precisamos encontrar as derivadas parciais e . Isso envolve derivação implícita, que é útil quando z está relacionada a x e y de forma que não dá para isolar z facilmente. Vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação inteira em relação a x, tratando y como uma constante. Isso significa que quando derivarmos termos que envolvem z, teremos que multiplicar pela por causa da regra da cadeia.

Passo 3

Derivando o primeiro termo em relação a x:
  • Usamos a regra do produto: derivada de x é 1, então fica .
  • Além disso, derivamos com relação a x, que é .
  • Então, o total desse termo é .

Passo 4

Derivando o segundo termo em relação a x:
  • Novamente, regra do produto: derivada de �� , então fica .
  • Mais a derivada de z, que é .
  • Total desse termo: .

Passo 5

Derivando o lado direito em relação a x:
  • A derivada de x é 1.
  • y é constante, então a derivada é 0.
  • Derivada de z é .
  • Total: .

Passo 6

Juntando tudo, temos:
y^2 z^3 + 3 x y^2 z^2 partial zpartial x + 3x^2 y^2 z + x^3 y^2 partial zpartial x = 1 + partial zpartial x
Agora, vamos isolar .

Passo 7

Agrupando os termos com (3 x y^2 z^2 + x^3 y^2) partial zpartial x - partial zpartial x = 1 - y^2 z^3 - 3x^2 y^2 z :
partial zpartial x (3 x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1) = 1 - y^2 z^3 - 3x^2 y^2 z
Fatorando :

Passo 8

Isolando partial zpartial x = 1 - y^2 z^3 - 3x^2 y^2 z3 x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1 :

Passo 9

Agora, vamos derivar a equação original em relação a y para encontrar .
Primeiro, derivamos em relação a y:
  • Derivada de é , então .
  • Derivada de é , então .
  • Total: .

Passo 10

Derivando em relação a y:
  • Derivada de é , então .
  • Derivada de z é .
  • Total: .

Passo 11

Derivando o lado direito em relação a y:
  • x é constante, então derivada é 0.
  • Derivada de y é 1.
  • Derivada de z é .
  • Total: .

Passo 12

Juntando tudo, temos:
2x y z^3 + 3x y^2 z^2 partial zpartial y + 2x^3 y z + x^3 y^2 partial zpartial y = 1 + partial zpartial y
Agora, vamos isolar .

Passo 13

Agrupando os termos com (3x y^2 z^2 + x^3 y^2) partial zpartial y - partial zpartial y = 1 - 2x y z^3 - 2x^3 y z :
partial zpartial y (3x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1) = 1 - 2x y z^3 - 2x^3 y z
Fatorando :

Passo 14

Isolando partial zpartial y = 1 - 2x y z^3 - 2x^3 y z3x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1 :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 1 - y^2 z^3 - 3x^2 y^2 z3 x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1
e
partial zpartial y = 1 - 2x y z^3 - 2x^3 y z3x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1

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