Use a derivação implícita para encontrar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação
e precisamos encontrar as derivadas parciais
e
. Isso envolve derivação implícita, que é útil quando z está relacionada a x e y de forma que não dá para isolar z facilmente. Vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação inteira em relação a x, tratando y como uma constante. Isso significa que quando derivarmos termos que envolvem z, teremos que multiplicar pela
por causa da regra da cadeia.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
em relação a x:
- Usamos a regra do produto: derivada de x é 1, então fica
. - Além disso, derivamos
com relação a x, que é . - Então, o total desse termo é
.
Passo 4
Derivando o segundo termo
em relação a x:
- Novamente, regra do produto: derivada de
�� , então fica . - Mais a derivada de z, que é
. - Total desse termo:
.
Passo 5
Derivando o lado direito
em relação a x:
- A derivada de x é 1.
- y é constante, então a derivada é 0.
- Derivada de z é
. - Total:
.
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Agora, vamos isolar
.
Passo 7
Agrupando os termos com
:
Fatorando
:
Passo 8
Isolando
:
Passo 9
Agora, vamos derivar a equação original em relação a y para encontrar
.
Primeiro, derivamos
em relação a y:
- Derivada de
é , então . - Derivada de
é , então . - Total:
.
Passo 10
Derivando
em relação a y:
- Derivada de
é , então . - Derivada de z é
. - Total:
.
Passo 11
Derivando o lado direito
em relação a y:
- x é constante, então derivada é 0.
- Derivada de y é 1.
- Derivada de z é
. - Total:
.
Passo 12
Juntando tudo, temos:
Agora, vamos isolar
.
Passo 13
Agrupando os termos com
:
Fatorando
:
Passo 14
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e