39 Seja TA: R^4 R^4 a multiplicação por
A=[cccc 1 & 3 & -2 & 4 2 & 6 & -4 & 8 3 & 9 & 1 & 5 1 & 1 & 4 & 8 ]
Determine se TA é injetora.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear definida por . Para saber se é injetora, basta ver se . Como , temos injeção exatamente quando .

Passo 2

Vamos calcular rank(A) por eliminação de linhas. Primeiro escrevemos A:
A= 1 & 3 & -2 & 4 2 & 6 & -4 & 8 3 & 9 & 1 & 5 1 & 1 & 4 & 8
Subtraímos 2 vezes a linha 1 da linha 2, 3 vezes a linha 1 da linha 3 e 1 vez da linha 1 da linha 4:
1 & 3 & -2 & 4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 7 & -7 0 & -2 & 6 & 4

Passo 3

Agora basta colocar pivôs em cada linha não nula. Por exemplo, permutando para ter pivô na coluna 2 na segunda linha e pivô na coluna 3 na terceira linha, obtemos:
1 & 3 & -2 & 4 0 & -2 & 6 & 4 0 & 0 & 7 & -7 0 & 0 & 0 & 0
Há exatamente três linhas não-nulas, logo rank(A)=3.

Passo 4

Como , temos , ou seja, existem vetores não nulos em . Portanto não é injetora.

Resposta

TA não é injetora.

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