39 Seja
a multiplicação por
Determine se
TA é injetora.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
. Para saber se
é injetora, basta ver se
. Como , temos injeção exatamente quando .
Passo 2
Vamos calcular
rank(A) por eliminação de linhas. Primeiro escrevemos
A :
Subtraímos
2 vezes a linha
1 da linha
2 ,
3 vezes a linha
1 da linha
3 e
1 vez da linha
1 da linha
4 :
Passo 3
Agora basta colocar pivôs em cada linha não nula. Por exemplo, permutando para ter pivô na coluna
2 na segunda linha e pivô na coluna
3 na terceira linha, obtemos:
Há exatamente três linhas não-nulas, logo
rank(A)=3 .
Passo 4
Como , temos
, ou seja, existem vetores não nulos em
. Portanto
não é injetora.