Esboce o gráfico da cônica:
x^216-y^29=1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da cônica
x^216-y^29=1
Este é o caso padrão de uma hipérbole centrada na origem com eixo transverso horizontal. Para desenhar, vamos identificar centro, semi-eixos, vértices e assíntotas.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma canônica
x^24^2-y^23^2=1,
daqui concluímos que o centro é (0,0), o semi-eixo real (transverso) vale a=4 e o semi-eixo imaginário (conjugado) vale b=3.

Passo 3

Os vértices da hipérbole ficam no eixo x, à distância a do centro, ou seja em
(pm a,0) = (pm 4,0)
Pontos na reta y-eixo a pm b são usados para determinar as direções das assíntotas.

Passo 4

As assíntotas de uma hipérbole do tipo x^2a^2-y^2b^2=1 são dadas por
y=pm ba,x
Aqui,
y=pm 34x

Passo 5

Para esboçar:
  1. Trace os eixos cartesianos e marque o centro em (0,0).
  2. Marque os vértices em (4,0) e (-4,0).
  3. Desenhe as retas-guia y=34x e y=-34x.
  4. A partir dos vértices, faça duas curvas suaves que se aproximam dessas retas ao longe, formando os dois ramos da hipérbole à direita e à esquerda.

Resposta

O gráfico é uma hipérbole com centro em (0,0), vértices em (pm4,0) e assíntotas y=pm34x, cujos ramos se abrem para a direita e para a esquerda.

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