Considere um vetor \vec{a} no sentido positivo do eixo x, um vetor \vec{b} no sentido positivo do eixo y, e um escalar d.
Qual é o módulo do vetor \vec{b} \times \vec{a} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existe um vetor \vec{a} direcionado no sentido positivo do eixo x.
  • Existe um vetor \vec{b} direcionado no sentido positivo do eixo y.
  • Existe um escalar d.
A pergunta é: qual é o módulo do vetor \vec{b}\times\vec{a}?
Observação interpretativa (necessária para prosseguir): tomar que o escalar d é a magnitude de cada um desses vetores, ou seja, que
\vec{a} tem magnitude d e está na direção positiva de x e \vec{b} tem magnitude d e está na direção positiva de y. Essa é a interpretação padrão quando se dá um escalar d junto com a indicação de direção dos vetores.

Passo 2

Vou relembrar a fórmula útil para o produto vetorial (cross product) e explicar cada símbolo.
A magnitude do produto vetorial de dois vetores \vec{u} e \vec{v} é dada por
\lvert \vec{u}\times\vec{v}\rvert = \lvert\vec{u}\rvert\,\lvert\vec{v}\rvert\,\sin\theta,
onde:
  • \lvert\vec{u}\rvert é o módulo (comprimento) do vetor \vec{u},
  • \lvert\vec{v}\rvert é o módulo do vetor \vec{v},
  • \theta é o ângulo menor entre \vec{u} e \vec{v},
  • \sin\theta é a função seno desse ângulo.
Intuição curta e amigável: o produto vetorial mede “quanto os vetores são perpendiculares” multiplicado pelas suas magnitudes; se são perpendiculares ( \theta=90^\circ), o seno vale 1 e o módulo do produto vale simplesmente o produto dos módulos.

Passo 3

Determinar o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
Como \vec{a} está na direção positiva de x e \vec{b} está na direção positiva de y, o ângulo entre eles é \theta=90^\circ. Em termos de seno,
\sin\theta=\sin 90^\circ=1.

Passo 4

Aplicar a fórmula do módulo do produto vetorial com \theta=90^\circ:
\lvert \vec{b}\times\vec{a}\rvert = \lvert\vec{b}\rvert\,\lvert\vec{a}\rvert\,\sin 90^\circ = \lvert\vec{b}\rvert\,\lvert\vec{a}\rvert \cdot 1 = \lvert\vec{b}\rvert\,\lvert\vec{a}\rvert.

Passo 5

Usar a interpretação feita no Passo 1 sobre o escalar d: representar os vetores em termos de vetores unitários.
Se cada vetor tem magnitude d e direções positivas de x e y, então
\vec{a}=d\,\hat{\imath},\qquad \vec{b}=d\,\hat{\jmath},
onde \hat{\imath} é o versor em x e \hat{\jmath} é o versor em y.

Passo 6

Calcular explicitamente \vec{b}\times\vec{a} usando as propriedades dos versores:
Sabendo que \hat{\jmath}\times\hat{\imath}=-\hat{k} (regra da mão direita e anti comutatividade do produto vetorial),
\vec{b}\times\vec{a}=(d\,\hat{\jmath})\times(d\,\hat{\imath})=d^2\,(\hat{\jmath}\times\hat{\imath})=d^2(-\hat{k})=-d^2\,\hat{k}.
O vetor resultante aponta no sentido negativo de z, mas o módulo é a magnitude do número multiplicador.

Passo 7

Extrair o módulo do resultado:
\lvert \vec{b}\times\vec{a}\rvert = \lvert -d^2\,\hat{k}\rvert = d^2.

Resposta

d^2

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