Considere um vetor
no sentido positivo do eixo
, um vetor
no sentido positivo do eixo
, e um escalar
.
Qual é o módulo do vetor
?
Qual é o módulo do vetor
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Existe um vetor
direcionado no sentido positivo do eixo . - Existe um vetor
direcionado no sentido positivo do eixo . - Existe um escalar
.
A pergunta é: qual é o módulo do vetor
?
Observação interpretativa (necessária para prosseguir): tomar que o escalar
é a magnitude de cada um desses vetores, ou seja, que
tem magnitude
e está na direção positiva de
e
tem magnitude
e está na direção positiva de
. Essa é a interpretação padrão quando se dá um escalar
junto com a indicação de direção dos vetores.
Passo 2
Vou relembrar a fórmula útil para o produto vetorial (cross product) e explicar cada símbolo.
A magnitude do produto vetorial de dois vetores e
é dada por
A magnitude do produto vetorial de dois vetores
onde:
-
é o módulo (comprimento) do vetor , -
é o módulo do vetor , -
é o ângulo menor entre e , -
é a função seno desse ângulo.
Intuição curta e amigável: o produto vetorial mede “quanto os vetores são perpendiculares” multiplicado pelas suas magnitudes; se são perpendiculares (
), o seno vale 1 e o módulo do produto vale simplesmente o produto dos módulos.
Passo 3
Determinar o ângulo entre
e
.
Como está na direção positiva de
e
está na direção positiva de
, o ângulo entre eles é
. Em termos de seno,
Como
Passo 4
Aplicar a fórmula do módulo do produto vetorial com
:
Passo 5
Usar a interpretação feita no Passo 1 sobre o escalar
: representar os vetores em termos de vetores unitários.
Se cada vetor tem magnitude e direções positivas de
e
, então
Se cada vetor tem magnitude
onde
é o versor em
e
é o versor em
.
Passo 6
Calcular explicitamente
usando as propriedades dos versores:
Sabendo que (regra da mão direita e anti comutatividade do produto vetorial),
Sabendo que
O vetor resultante aponta no sentido negativo de
, mas o módulo é a magnitude do número multiplicador.
Passo 7
Extrair o módulo do resultado: