37 (UPF-RS) Os pontos A(k, 0), B(1,-2) e C(3,2) são vértices de um triângulo. Então, necessariamente:
a) k=-1
b) k=2
c) k=-2
d) k \neq-2
e) k \neq 2

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A(k,0), B(1,-2) e C(3,2) e pede que formem um triângulo. Isso significa que eles não podem ser colineares. O teste de colinearidade é verificar se o determinante que dá duas vezes a área é diferente de zero.

Passo 2

O determinante dos pontos é
D = \begin{vmatrix} k & 0 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}
Expandindo pela primeira linha:
D = k\bigl((-2)\cdot1 - 1\cdot2\bigr) - 0\bigl(1\cdot1 - 3\cdot1\bigr) + 1\bigl(1\cdot2 - (-2)\cdot3\bigr).
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D = k(-2 - 2) + (2 + 6) = -4k + 8.

Passo 3

Para formar um triângulo, precisamos de D \neq 0. Assim,
-4k + 8 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad 4k \neq 8 \quad\Longrightarrow\quad k \neq 2.

Resposta

e) k \neq 2

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