Pela propredode calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{\left(\sqrt[3]{\frac{2 x^{2}+1}{x+2}}\right) \cdot\left(2 x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -1}\frac{\bigl(\sqrt[3]{\frac{2x^{2}+1}{x+2}}\bigr)\,(2x^{2}+3)}{(x^{2}+2)^{2}}.
Este é um limite de uma função composta formada por soma, produto, quociente e raiz de índice ímpar, e todas as partes são contínuas em x=-1. Portanto, podemos usar a propriedade da continuidade e substituir x=-1 diretamente.

Passo 2

Vamos calcular as três subexpressões em x=-1:
a = \frac{2x^{2}+1}{x+2},\quad b = 2x^{2}+3,\quad c = x^{2}+2.
Substituindo x=-1:
a(-1)=\frac{2\cdot(-1)^{2}+1}{-1+2}=\frac{2\cdot1+1}{1}=\frac{3}{1}=3,
b(-1)=2\cdot(-1)^{2}+3=2\cdot1+3=5,
c(-1)=(-1)^{2}+2=1+2=3.

Passo 3

Pela continuidade, o limite vale
\sqrt[3]{a(-1)}\;\cdot\;b(-1)\;\big/\;[c(-1)]^{2} =\sqrt[3]{3}\;\cdot\;5\;\big/\;3^{2}.

Passo 4

Simplificando,
3^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5\sqrt[3]{3}}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{5\sqrt[3]{3}}{9}

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