Teorema2: Seja x, y >0.
Se
é
a) uma função crescente e
b)
para todo n ,
(
é
natural e x é real), Então
Para todo número real c > 0 .
Se
a) uma função crescente e
b)
Passo 1
O enunciado pede:
– (3) definir paralelogramo;
– (4) encontrar e demonstrar, a partir da área de retângulo, uma expressão para a área de um paralelogramo;
– (5) definir triângulo;
– (6) encontrar e demonstrar, a partir da área de paralelogramo, uma expressão para a área de um triângulo.
– (3) definir paralelogramo;
– (4) encontrar e demonstrar, a partir da área de retângulo, uma expressão para a área de um paralelogramo;
– (5) definir triângulo;
– (6) encontrar e demonstrar, a partir da área de paralelogramo, uma expressão para a área de um triângulo.
Para isso vamos usar o Teorema 2: se
é crescente em
e satisfaz
para todo
, então
para todo
.
Passo 2
Definição de paralelogramo:
Um paralelogramo é um quadrilátero cujos pares de lados opostos são paralelos e de comprimentos iguais.
Um paralelogramo é um quadrilátero cujos pares de lados opostos são paralelos e de comprimentos iguais.
Passo 3
Expressão da área de um paralelogramo e demonstração por redução ao retângulo:
- Fixamos a altura
do paralelogramo e consideramos a função
- Se duplicamos a base para
, conseguimos dois paralelogramos iguais que, juntos, formam um só de base . Logo
Análogo para
:
- A área também cresce com
, isto é, é crescente em . - Pelo Teorema 2, para todo real
vale
- Em particular, tomamos
e definimos . Então
- Para determinar
, note que, se o paralelogramo de base e altura se rearranja num retângulo de largura e altura , sua área é . Logo . - Concluímos
Passo 4
Definição de triângulo:
Um triângulo é um polígono de três lados e três vértices.
Um triângulo é um polígono de três lados e três vértices.
Passo 5
Expressão da área de um triângulo a partir da área de paralelogramo:
- Dado um triângulo de base
e altura , podemos duplicá-lo (por reflexão) ao longo da base para formar um paralelogramo de mesma base e altura . - Logo a área do paralelogramo é o dobro da área do triângulo. Se chamarmos
e as áreas do triângulo e do paralelogramo, respectivamente, temos
- Mas já sabemos que
. Então
Resposta
- Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos paralelos e de mesmo comprimento.
- A área de um paralelogramo de base
e altura é
demonstrada a partir da área de retângulo e do Teorema 2. - Um triângulo é um polígono de três lados.
- A área de um triângulo de base
e altura é
demonstrada a partir da área de paralelogramo.