Teorema2: Seja x, y >0.
Se y=f(x) é
a) uma função crescente e
b) \mathrm{f}(\mathrm{nx})=\mathrm{nf}(\mathrm{x}) para todo n , \mathrm{x}>0 ( n é n^{\circ} natural e x é real), Então
f(c x)=c f(x)
Para todo número real c > 0 .

Passo 1

O enunciado pede:
– (3) definir paralelogramo;
– (4) encontrar e demonstrar, a partir da área de retângulo, uma expressão para a área de um paralelogramo;
– (5) definir triângulo;
– (6) encontrar e demonstrar, a partir da área de paralelogramo, uma expressão para a área de um triângulo.
Para isso vamos usar o Teorema 2: se f é crescente em x>0 e satisfaz f(n x)=n\,f(x) para todo n\in\mathbb{N}, então f(c x)=c\,f(x) para todo c>0.

Passo 2

Definição de paralelogramo:
Um paralelogramo é um quadrilátero cujos pares de lados opostos são paralelos e de comprimentos iguais.

Passo 3

Expressão da área de um paralelogramo e demonstração por redução ao retângulo:
  1. Fixamos a altura h do paralelogramo e consideramos a função
f(b)=\text{área do paralelogramo de base }b\text{ e altura }h.á
  1. Se duplicamos a base para 2b, conseguimos dois paralelogramos iguais que, juntos, formam um só de base 2b. Logo
f(2b)=2\,f(b).
Análogo para n\in\mathbb{N}:
f(n b)=n\,f(b).
  1. A área também cresce com b, isto é, f é crescente em b>0.
  2. Pelo Teorema 2, para todo real c>0 vale
f(c\,b)=c\,f(b).
  1. Em particular, tomamos b=1 e definimos k=f(1). Então
f(b)=b\,k.
  1. Para determinar k, note que, se o paralelogramo de base 1 e altura h se rearranja num retângulo de largura 1 e altura h, sua área é 1\cdot h. Logo k=h.
  2. Concluímos
\text{área do paralelogramo} = b\,h.á

Passo 4

Definição de triângulo:
Um triângulo é um polígono de três lados e três vértices.

Passo 5

Expressão da área de um triângulo a partir da área de paralelogramo:
  1. Dado um triângulo de base b e altura h, podemos duplicá-lo (por reflexão) ao longo da base para formar um paralelogramo de mesma base b e altura h.
  2. Logo a área do paralelogramo é o dobro da área do triângulo. Se chamarmos A_{\triangle} e A_{\parallel} as áreas do triângulo e do paralelogramo, respectivamente, temos
A_{\parallel}=2\,A_{\triangle}.
  1. Mas já sabemos que A_{\parallel}=b\,h. Então
b\,h=2\,A_{\triangle} \;\;\Longrightarrow\;\; A_{\triangle}=\tfrac12\,b\,h.

Resposta

  1. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos paralelos e de mesmo comprimento.
  2. A área de um paralelogramo de base b e altura h é b\,h,
    demonstrada a partir da área de retângulo e do Teorema 2.
  3. Um triângulo é um polígono de três lados.
  4. A área de um triângulo de base b e altura h é
\tfrac12\,b\,h,
demonstrada a partir da área de paralelogramo.

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