5-38 Calcule a integral.
{\int_{0}^{2} \operatorname{sen}(3 \pi t) d t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de
\int_{0}^{2}\operatorname{sen}\bigl(3\pi t\bigr)\,dt.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, em particular usamos que a primitiva de \operatorname{sen}(ax) é -\tfrac{1}{a}\cos(ax).

Passo 2

Aprimantiva de \operatorname{sen}(3\pi t) em relação a t é
\int \operatorname{sen}\bigl(3\pi t\bigr)\,dt = -\frac{1}{3\pi}\cos\bigl(3\pi t\bigr) + C.

Passo 3

Agora avaliamos entre os limites t=0 e t=2:
\int_{0}^{2}\operatorname{sen}\bigl(3\pi t\bigr)\,dt = \Bigl[-\frac{1}{3\pi}\cos\bigl(3\pi t\bigr)\Bigr]_{0}^{2} = -\frac{1}{3\pi}\bigl(\cos(6\pi)-\cos(0)\bigr).
Como \cos(6\pi)=1 e \cos(0)=1, temos
-\frac{1}{3\pi}\bigl(1-1\bigr)=0.

Resposta

0

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