5-38 Calcule a integral.
{\int_{0}^{1} v^{2} \cos \left(v^{3}\right) d v}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} v^{2}\cos\bigl(v^{3}\bigr)\,dv.
O conteúdo envolvido é o método de substituição em integrais de funções compostas.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = v^{3} \quad\Longrightarrow\quad du = 3\,v^{2}\,dv \quad\Longrightarrow\quad v^{2}\,dv = \frac{du}{3}.

Passo 3

Quando v varia de 0 até 1, u varia de
u(0)=0^{3}=0 \quad\text{até}\quad u(1)=1^{3}=1.é
Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{1} v^{2}\cos\bigl(v^{3}\bigr)\,dv = \int_{0}^{1} \cos(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du.

Passo 4

Calculando a integral de \cos(u) e aplicando os limites:
\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du = \frac{1}{3}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\bigl(\sin(1)-\sin(0)\bigr) = \frac{\sin(1)}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin(1)}{3}

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