5-38 Calcule a integral.
{\int_{0}^{1} y\left(y^{2}+1\right)^{3} d y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} y\bigl(y^{2}+1\bigr)^{3}\,dy.
O conteúdo principal aqui é o método de substituição em integrais, pois dentro do integrando temos uma função composta \bigl(y^{2}+1\bigr) elevada à terceira potência multiplicada por y, que é exatamente a derivada (até constante) de y^{2}+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = y^{2}+1
para simplificar o integral. Calculamos du:
du = 2y\,dy \quad\Longrightarrow\quad y\,dy = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Alteramos também os limites de integração de y para u:
  • Quando y=0, u = 0^{2}+1 = 1.
  • Quando y=1, u = 1^{2}+1 = 2.
    Então a integral em y vira uma integral em u:
\int_{0}^{1} y\bigl(y^{2}+1\bigr)^{3}\,dy = \int_{u=1}^{u=2} \bigl(u\bigr)^{3}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{3}\,du.

Passo 4

Agora basta integrar u^{3}:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}.
Aplicando nos limites de 1 a 2 e multiplicando por \tfrac12:
\frac{1}{2}\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{8}\bigl(2^{4}-1^{4}\bigr) = \frac{1}{8}(16-1) = \frac{15}{8}.

Resposta

\int_{0}^{1} y\bigl(y^{2}+1\bigr)^{3}\,dy = \frac{15}{8}.

Exercícios relacionados