5-38 Calcule a integral.
{\int_{0}^{2} y^{2} \sqrt{1+y^{2}} d y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int_{0}^{2} y^{2}\,\sqrt{1+y^{2}}\;dy.
O conteúdo principal envolve técnicas de integração por partes e uso de uma fórmula de redução para integrais do tipo \int (1+y^2)^{n}dy.

Passo 2

Para começar, usamos integração por partes. Escolhemos
u = y, \quad dv = y\,\sqrt{1+y^{2}}\;dy.
Então
du = dy, \qquad v = \int y\,\sqrt{1+y^{2}}\;dy.
Para achar v, fazemos a substituição t = 1+y^2, dt = 2y\,dy, o que dá
v = \int y\,\sqrt{1+y^{2}}\;dy = \frac{1}{2}\int \sqrt{t}\;dt = \frac{1}{2}\,\frac{2}{3}\,t^{3/2} = \frac{(1+y^2)^{3/2}}{3}.

Passo 3

Pela fórmula de partes,
\int y^{2}\,\sqrt{1+y^{2}}\;dy = u\,v - \int v\,du = y\;\frac{(1+y^2)^{3/2}}{3} - \frac{1}{3}\int (1+y^2)^{3/2}\;dy.
Logo,
I = \int_{0}^{2} y^{2}\,\sqrt{1+y^{2}}\;dy = \left[\frac{y\,(1+y^2)^{3/2}}{3}\right]_{0}^{2} - \frac{1}{3}\int_{0}^{2}(1+y^2)^{3/2}\;dy.
Chamemos
J = \int (1+y^2)^{3/2}\;dy.

Passo 4

Para calcular J, usamos a fórmula de redução para \int (a^2+x^2)^{n}dx. No nosso caso a=1 e n=\tfrac32. A fórmula é
\int (1+y^2)^{n}dy = \frac{y\,(1+y^2)^{n}}{2n+1} + \frac{2n}{2n+1}\int (1+y^2)^{n-1}dy.
Substituindo n=\tfrac32 obtemos
J = \int (1+y^2)^{3/2}dy = \frac{y\,(1+y^2)^{3/2}}{4} + \frac{3}{4}\int (1+y^2)^{1/2}dy.
E sabe-se que
\int \sqrt{1+y^2}\,dy = \frac{y\sqrt{1+y^2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(y + \sqrt{1+y^2}\bigr).

Passo 5

Logo,
J = \frac{y\,(1+y^2)^{3/2}}{4} + \frac{3}{4}\Bigl[ \frac{y\sqrt{1+y^2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(y + \sqrt{1+y^2}\bigr) \Bigr] + C
= \frac{y\,(1+y^2)^{3/2}}{4} + \frac{3\,y\sqrt{1+y^2}}{8} + \frac{3}{8}\ln\bigl(y + \sqrt{1+y^2}\bigr) + C.

Passo 6

Voltando a
I = \left[\frac{y\,(1+y^2)^{3/2}}{3}\right]_{0}^{2} - \frac{1}{3}\bigl[J\bigr]_{0}^{2},
avaliamos em y=2:
y\,(1+y^2)^{3/2}\Big|_{y=2} = 2\cdot(1+4)^{3/2} = 2\cdot5^{3/2} = 10\sqrt5,
J(2) = \frac{2\cdot5^{3/2}}{4} + \frac{3\cdot2\sqrt5}{8} + \frac{3}{8}\ln\bigl(2+\sqrt5\bigr) = \frac{5\sqrt5}{2} + \frac{3\sqrt5}{4} + \frac{3}{8}\ln(2+\sqrt5) = \frac{13\sqrt5}{4} + \frac{3}{8}\ln(2+\sqrt5).
Em y=0, todos os termos são zero. Assim
I = \frac{1}{3}\Bigl(10\sqrt5\Bigr) - \frac{1}{3}\Bigl(\frac{13\sqrt5}{4} + \frac{3}{8}\ln(2+\sqrt5)\Bigr) = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{27\sqrt5}{4} - \frac{3}{8}\ln(2+\sqrt5)\Bigr).
Simplificando,
I = \frac{27\sqrt5}{12} - \frac{3}{24}\ln(2+\sqrt5) = \frac{9\sqrt5}{4} - \frac{1}{8}\ln\bigl(2+\sqrt5\bigr).

Resposta

\int_{0}^{2} y^{2}\,\sqrt{1+y^{2}}\;dy = \frac{9\sqrt5}{4} - \frac{1}{8}\,\ln\bigl(2+\sqrt5\bigr).

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